Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

W każdym przykładzie najpierw zapiszemy wielomian znajdujący się po lewej stronie nierówności w postaci iloczynowej. Następnie naszkicujemy wykres wielomianu, z którego odczytamy zbiór rozwiązań nierówności. Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to rozpoczynamy rysowanie od prawej górnej strony, a jeśli jest ujemny to rozpoczynamy od prawej dolnej strony. Wykres zmienia znak tylko w pierwiastkach krotności nieparzystej. Oznacza to, że w pierwiastku krotności jeden wykres "przechodzi" na drugą stronę osi OX, a w pierwiastku krotności dwa wykres "odbija się" od osi OX.  

 

 

`a)` 

`#underbrace(x^3+x^2-20x)_(w(x))>0` 

 

`w(x)=x^3+x^2-20x=x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ x\ -\ 20))_(Delta=1^2-4*1*(-20)=))_(=1+80=81))_(sqrtDelta=9))_(x_1=(-1-9)/2=(-10)/2=-5))_(x_2=(-1+9)/2=8/2=4)=x(x+5)(x-4)` 

Pierwiastki wielomianu to 0, -5 oraz 4. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-5;\ 0)uu(4;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`    

 

 

`b)` 

`#underbrace(x^3-3x^2+2x)_(w(x))<0` 

 

`w(x)=x^3-3x^2+3x=x#(#(#(#(#underbrace((x^2-3x+2))_(Delta=(-3)^2-4*1*2=))_(=9-8=1))_(sqrtDelta=1))_(x_1=(3-1)/2=2/2=1))_(x_2=(3+1)/2=4/2=2)=x(x-1)(x-2)`

 

Pierwiastki wielomianu to 0, 1 oraz 2. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 0)uu(1;\ 2)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`#underbrace(-x^4+6x^3-9x^2)_(w(x))<=0` 

`w(x)=-x^4+6x^3-9x^2=-x^2(x^2-6x+9)=-x^2(x^2-2*x*3+3^2)=-x^2(x-3)^2` 

 

Pierwiastki wielomianu to 0 oraz 3. Oba te pierwiastki mają krotność 2. 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in RR))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`#underbrace(3x^4+x^3+x^2)_(w(x))<0` 

`w(x)=3x^4+x^3+x^2=x^2#(#underbrace((3x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*3*1=))_(=1-12<0)`

Zauważmy, że współczynnik kwadratowy ma ujemną deltę - nie ma pierwiastków. Jedynym pierwiastkiem wielomianu w jest 0 (krotność 2). Moglibyśmy rozwiązać ten podpunkt tak, jak poprzedni - narysować wykres i odczytać zbiór rozwiązań. Warto jednak zauważyć, że czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

`x^2(3x^2+x+1)<0\ \ \ \ \ |:(3x^2+x+1)>0` 

`x^2<0` 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa nierówność nie ma rozwiązania.  

`ul(ul("brak rozwiązań"))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`e)` 

`#underbrace(x^3+4x^2+x+4)_(w(x))>0` 

 

`w(x)=x^3+4x^2+x+4=x^2(x+4)+(x+4)=(x+4)#(#((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1=))_(=0-4<)`

Rozumowanie przebiega podobnie jak w podpunkcie d). Czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

`(x+4)(x^2+1)>0\ \ \ \ |:(x^2+1)>0` 

`x+4>0\ \ \ |-4` 

`x> -4` 

`ul(ul(x in (-4;\ +infty)))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`#underbrace((-x^3+3x^2+2x-6))_(w(x))<=0`  

`w(x)=-x^3+3x^2+2x-6=x^2(-x+3)+2(-x+3)=(-x+3)#(#underbrace((x^2\ \ +\ \ 2))_(Delta=0^2-4*1*2=))_(=0-8<0)`

Czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

`(-x+3)(x^2+2)<=0\ \ \ \ \ |:(x^2+2)>0`

`-x+3<=0\ \ \ |-3`  

`-x<=-3\ \ \ |*(-1)` 

`x>=3` 

`ul(ul(x in <<3;\ +infty)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`g)` 

`#underbrace(x^5-x^3-x^2+1)_(w(x))>=0` 

 

`w(x)=x^5-x^3-x^2+1=x^3(x^2-1)-(x^2-1)=(x^2-1)(x^3-1)=(x-1)(x+1)(x-1)#(#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1=))_(=1-4<0)=(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1)` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. 

Pierwiastki wielomianu w to 1 (krotność 2) oraz -1 (krotność 1). 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-1;\ +infty)))` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`h)` 

`#underbrace(-x^5+3x^3-8x^2+24)_(w(x))<0` 

 

`w(x)=-x^5+3x^3-8x^2+24=x^3(-x^2+3)+8(-x^2+3)=(-x^2+3)(x^3+8)=-(x^2-3)(x^3+8)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-(x-sqrt3)(x+sqrt3)(x+2)#(#underbrace((x^2-2x+4))_(Delta=(-2)^2-4*1*4=))_(=4-16<0)` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. 

Pierwiastki wielomianu w to √3, -√3 oraz -2. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

 

   

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ -sqrt3)uu(sqrt3;\ +infty)))` 

 

    

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Zobacz także
Udostępnij zadanie