a)

Figura I składa się z $1$ kratki. Pole tej kratki jest równe polu kwadratu o boku długości $1$ kratki, dlatego pod rysunkiem zapisano:

$1=1^2$.

---

Figura II powstała przez dokolorowanie $8$ kratek (czerwone kwadraty) dookoła figury I. Składa się więc ona z $1+8$ kratek, każda o polu $1$, więc jej pole możemy obliczyć następująco:

$1+8=9$

Figura II jest kwadratem o boku długości $3$ kratek. Pole kwadratu możemy obliczyć, podnosząc do kwadratu długość jego boku, stąd dalsza część równości, czyli:

$9=3^2$

---

Figura III powstała przez dokolorowanie $16$ kratek (niebieskie kwadraty) dookoła figury II, więc liczba kratek, z których składa się ta figura jest równa: $1+8+16$. Każda kratka ma pole $1$, więc również pole figury III jest równe:

$1+8+16=25$

Figura III jest kwadratem o boku długości $5$ kratek, więc jego pole można wyrazić jako:

$25=5^2$

---

---

b)

Figura IV powstanie przez dokolorowanie na czerwono $24$ kratek dookoła figury III. Zatem liczba kratek, z których składa się figura IV, jest równa:

$1+8+16+24=49$

Powstanie kwadrat o boku długości $7$ kratek. Pole kwadratu obliczamy, podnosząc do kwadratu długość jego boku. Kontynuując temat podpisu figury, mamy:

$49=7^2$

Narysujmy tę figurę.

---

Figura V powstanie przez dokolorowanie na niebiesko $32$ kratek dookoła figury IV. Zatem liczba kratek, z których składa się figura V, jest równa:

$1+8+16+24+32=81$

Powstanie kwadrat o boku długości $9$ kratek, więc można zapisać:

$81=9^2$

Narysujmy tę figurę.

---

---

c) 

Figura VI powstanie przez dokolorowanie na czerwono $40$ kratek dookoła figury V. Zatem liczba kratek, z których składa się figura VI, jest równa:

$1+8+16+24+32+40=121$

Powstanie kwadrat o boku długości $11$ kratek. Pole kwadratu obliczamy, podnosząc do kwadratu długość jego boku. Kontynuując temat podpisu figury, mamy:

$121=11^2$

Narysujmy tę figurę.

Podpiszemy ją następująco:

$1+8+16+24+32+40=121=11^2$

---

---

d)

Pola nowopowstałych figur powiększają się (w stosunku do swoich poprzedników) kolejno o $8$ kratek, $16$ kratek, $24$ kratki, $32$ kratki, $40$ kratek itd. Liczby te są kolejnymi wielokrotnościami $8$.

$\underset{8}{\underbrace{8\cdot 1}},\underset{16}{\underbrace{8\cdot 2}},\underset{24}{\underbrace{8\cdot 3}},\underset{32}{\underbrace{8\cdot 4}},\underset{40}{\underbrace{8\cdot 5}},...$

Z kolei pola tych figur są równe liczbom, będącym kwadratami kolejnych liczb nieparzystych, przy czym numer tej liczby nieparzystej odpowiada liczbie składników sumy ($1$- pierwsza liczba nieparzysta, jeden składnik, $3$ - druga liczba nieparzysta, dwa składniki, $5$ - trzecia liczba nieparzysta, trzy składniki, $7$ - czwarta liczba nieparzysta, cztery składniki, $9$ - piąta liczba nieparzysta, pięć składników itd.).

$1=1^2$

$1+8=3^2$

$1+8+16=5^2$

$1+8+16+24=7^2$

$1+8+16+24+32=9^2$

Na podstawie tych obserwacji sformułujmy wniosek:

Suma liczby $1$ oraz kolejnych niezerowych wielokrotności liczby $8$ jest równa kwadratowi liczby nieparzystej o numerze odpowiadajacym liczbie składników sumy.