Matematyka

Spośród liczb dwucyfrowych 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Zauważmy, że jest 90 liczb dwucyfrowych (na miejscu dziesiątek możemy ustawić dowolną cyfrę różną od 0 - 9 możliwości, a na miejscu jedności możemy postawić dowolną cyfrę - 10 możliwości, więc zgodnie z regułą mnożenia ilość liczb dwucyfrowych wynosi 9∙10=90). 

`overline(overline(Omega))=90` 

 

`a)` 

`C\ \ -\ \ "wybrana liczba jest parzysta lub dzieli się przez pięć"` 

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia C. Zapiszmy zdarzenie C jako sumę dwóch zdarzeń. 

`C=AuuB` 

`A\ \ -\ \ "wybrana liczba jest parzysta"` 

`B\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez pięć"` 

 

Wiemy, że co druga liczba jest parzysta, więc:

`overline(overline(A))=90:2=45` 

 

Wiemy także, że co piąta liczba dzieli się przez pięć, więc:

`overline(overline(B))=90:5=18` 

 

 

`AnnB\ \ -\ \ "wybrana liczba jest parzysta i dzieli się przez 5, więc dzieli się przez 10"` 

Wiemy, że co dziesiąta liczba dzieli się przez 10, więc:

`overline(overline(AnnB))=90:10=9` 

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarZenia C:

`P(C)=P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)=45/90+18/90-9/90=54/90=6/10=3/5` 

 

 

 

 

`b)` 

`D\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 3 lub przez 4"` 

Podobnie jak poprzednio, zapisujemy zdarzenie D jako sumę dwóch zdarzeń. 

`D=EuuF` 

`E\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 3"` 

`F\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 4"` 

 

Wiemy, że co trzecia liczba dzieli się przez 3, więc:

`overline(overline(E))=90:3=30` 

 

Co czwarta liczba dzieli się przez 4. Mamy do dyspozycji 90 liczb, jednak 90 nie dzieli się przez 4, więc musimy sprytnie obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4. Pierwsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 4 to 12, a ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez 4 to 96. Liczba 4 mieści się w liczbie 96 24 razy. Mamy więc 24 liczby nie większe niż 96 podzielne przez 4. Od tej ilości musimy odjąć ilość liczb jednocyfrowych dodatnich podzielnych przez 4 - takie liczby są 2 (4 i 8). Stąd:

`overline(overline(F))=24-2=22` 

 

`EnnF\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 3 i przez 4"` 

`EnnF={12,\ 24,\ 36,\ 48,\ 60,\ 72,\ 84,\ 96}` 

`overline(overline(EnnF))=8` 

 

 

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarZenia D:

`P(D)=P(EuuF)=P(E)+P(F)-P(EnnF)=30/90+22/90-8/90=44/90=22/45` 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb. Sprowadzają one rozwiązanie problemu podzielności liczb do prostych działań na niewielkich liczbach.

  1. Podzielność liczby przez 2

    Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

    Przykład:

    • 1896319128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą jest 8.
       
  2. Podzielność liczby przez 3

    Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.

    Przykład:

    • 7981272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) dzieli się przez 3.
       
  3. Podzielność liczby przez 4

    Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

    Przykład:

    • 21470092816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
       
  4. Podzielność liczby przez 5

    Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

    Przykład:

    • 182947218415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
       
  5. Podzielność liczby przez 6

    Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

    Przykład:

    • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
       
  6. Podzielność liczby przez 9

    Liczba jest podzielna przez 9 , gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

    Przykład:

    • 1890351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest podzielna przez 9.
       
  7. Podzielność liczby przez 10

    Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

    Przykład:

    • 1920481290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
       
  8. Podzielność liczby przez 25

    Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

    Przykład:

    • 4675 → liczba podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25
       
  9. Podzielność liczby przez 100

    Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

    Przykład:

    • 12491848100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.
Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy
ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie