Matematyka

Autorzy:Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Czy liczba 3⁴⁴+4³³ jest podzielna przez 5? 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Sprawdźmy, jaką cyfrą jedności mają składniki podanej sumy, a poprzez zsumowanie tych cyfr dowiemy się, jaką cyfrę jedności ma wynik tej sumy.

`3^44`

Przeanalizujmy kolejne potęgi liczby 3.

`3^1=3` 

`3^2=9` 

`3^3=27` 

`3^4=81` 

`3^5=243`

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 3 powtarczają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 3, 9, 7 i 1.

Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 4, przejdziemy cztery pełne cykle i zatrzymamy się na ostatniej z wymienionych liczb z cyklu, ponieważ 44:4=11.

Ostatnią cyfrą liczby 344 jest 1.

`4^33`  

Przeanalizujmy kolejne potęgi liczby 4.

`4^1=4` 

`4^2=16` 

`4^3=64` 

`4^4=256` 

`4^5=1024` 

Zauważmy, że nieparzyste potęgi liczby 4 mają cyfrę jedności 4, a parzyste- cyfrę jedności 6, stąd ostatnia cyfra liczby 433 to cyfra 4.

 

  `3^44+4^33=squaresquare...squaresquare1+squaresquaresquare...squaresquaresquare4=squaresquare...squaresquaresquare5` 

Ostatnią cyfry podanej liczby jest cyfra 5, stąd liczba ta jest podzielna przez 5.