Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`3<=|2x+1|<=5` 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności. Rozwiążmy najpierw pierwszą z nich:

`3<=|2x+1|` 

`|2x+1|>=3` 

`2x+1>=3\ \ \ |-1\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2x+1<=-3\ \ \ |-1` 

`2x>=2\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ 2x<=-4\ \ \ |:2`  

`x>=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x<=-2` 

`ul(x in (-infty;\ -2>>uu<<1;\ +infty))`  

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność:

`|2x+1|<=5` 

`2x+1<=5\ \ \ |-1\ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x+1>=-5\ \ \ |-1` 

`2x<=4\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x>=-6\ \ \ |:2` 

`x<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ x>=-3` 

`ul(x in <<-3;\ 2>>)` 

 

Rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających obie nierówności - iloczyn dwóch podkreślonych przedziałów. 

 

`ul(ul(x in <<-3;\ -2>>uu<<1;\ 2>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`4<=|2-3x|` 

`|2-3x|>=4` 

`2-3x>=4\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x<=-4\ \ \ |-2` 

`-3x>=2\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ -3x<=-6\ \ \ |:(-3)` 

`x<=-2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x>=2` 

`ul(x in (-infty;\ -2/3>>uu<<2;\ +infty))` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`|2-3x|<=7` 

`2-3x<=7\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x>=-7\ \ \ |-2` 

`-3x<=5\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ -3x>=-9\ \ \ |:(-3)` 

`x>=-5/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ x<=3` 

`ul(x in <<-5/3;\ 3>>)` 

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-5/3;\ -2/3>>uu<<2;\ 3>>))` 

 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`-2<=4-3|x|\ \ \ \ |+3|x|` 

`3|x|-2<=4\ \ \ |+2` 

`3|x|<=6\ \ \ |:3` 

`|x|<=2` 

`ul(x in <<-2;\ 2>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`4-3|x|<=3\ \ \ |-4` 

`-3|x|<=-1\ \ \ |:(-3)` 

`|x|>=1/3` 

`ul(x in (-infty;\ -1/3>>uu<<1/3;\ +infty))` 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2;\ -1/3>>uu<<1/3;\ 2>>))`  

` `  

` `

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`3<=5-2|x|\ \ \ \ |+2|x|` 

`2|x|+3<=5\ \ \ |-3` 

`2|x|<=2\ \ \ |:2` 

`|x|<=1` 

`ul(x in <<-1;\ 1>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`5-2|x|<=6\ \ \ |-5` 

`-2|x|<=1\ \ \ |:(-2)` 

`|x|>=-1/2` 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to zbior liczb rzeczywistych:

`ul(x in RR)` 

 

Zbiór rozwiazań nierówności:

`ul(ul(x in <<-1;\ 1>>))`