Matematyka

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`3<=|2x+1|<=5` 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności. Rozwiążmy najpierw pierwszą z nich:

`3<=|2x+1|` 

`|2x+1|>=3` 

`2x+1>=3\ \ \ |-1\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2x+1<=-3\ \ \ |-1` 

`2x>=2\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ 2x<=-4\ \ \ |:2`  

`x>=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x<=-2` 

`ul(x in (-infty;\ -2>>uu<<1;\ +infty))`  

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność:

`|2x+1|<=5` 

`2x+1<=5\ \ \ |-1\ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x+1>=-5\ \ \ |-1` 

`2x<=4\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x>=-6\ \ \ |:2` 

`x<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ x>=-3` 

`ul(x in <<-3;\ 2>>)` 

 

Rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających obie nierówności - iloczyn dwóch podkreślonych przedziałów. 

 

`ul(ul(x in <<-3;\ -2>>uu<<1;\ 2>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`4<=|2-3x|` 

`|2-3x|>=4` 

`2-3x>=4\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x<=-4\ \ \ |-2` 

`-3x>=2\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ -3x<=-6\ \ \ |:(-3)` 

`x<=-2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x>=2` 

`ul(x in (-infty;\ -2/3>>uu<<2;\ +infty))` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`|2-3x|<=7` 

`2-3x<=7\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x>=-7\ \ \ |-2` 

`-3x<=5\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ -3x>=-9\ \ \ |:(-3)` 

`x>=-5/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ x<=3` 

`ul(x in <<-5/3;\ 3>>)` 

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-5/3;\ -2/3>>uu<<2;\ 3>>))` 

 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`-2<=4-3|x|\ \ \ \ |+3|x|` 

`3|x|-2<=4\ \ \ |+2` 

`3|x|<=6\ \ \ |:3` 

`|x|<=2` 

`ul(x in <<-2;\ 2>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`4-3|x|<=3\ \ \ |-4` 

`-3|x|<=-1\ \ \ |:(-3)` 

`|x|>=1/3` 

`ul(x in (-infty;\ -1/3>>uu<<1/3;\ +infty))` 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2;\ -1/3>>uu<<1/3;\ 2>>))`  

` `  

` `

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`3<=5-2|x|\ \ \ \ |+2|x|` 

`2|x|+3<=5\ \ \ |-3` 

`2|x|<=2\ \ \ |:2` 

`|x|<=1` 

`ul(x in <<-1;\ 1>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`5-2|x|<=6\ \ \ |-5` 

`-2|x|<=1\ \ \ |:(-2)` 

`|x|>=-1/2` 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to zbior liczb rzeczywistych:

`ul(x in RR)` 

 

Zbiór rozwiazań nierówności:

`ul(ul(x in <<-1;\ 1>>))`  

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

Dzielenie pisemne
  1. Zapisujemy dzielną, nad nią kreskę, a obok, po znaku dzielenia, dzielnik. W naszym przykładzie podzielimy liczbę 1834 przez 14, inaczej mówiąc zbadamy ile razy liczba 14 „mieści się” w liczbie 1834.

    dzielenie1
     
  2. Dzielimy pierwszą cyfrę dzielnej przez dzielnik. Jeśli liczba ta jest mniejsza od dzielnika, to bierzemy pierwsze dwie lub więcej cyfr dzielnej i dzielimy przez dzielnik. Inaczej mówiąc, w dzielnej wyznaczamy taką liczbę, którą można podzielić przez dzielnik. Wynik dzielenia zapisujemy nad kreską, a resztę z dzielenia zapisujemy pod spodem (pod dzielną).

    W naszym przykładzie w dzielnej bierzemy liczbę 18 i dzielimy ją przez 14, czyli sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 18. Liczba 14 zmieści się w 18 jeden raz, jedynkę piszemy nad kreską (nad ostatnią cyfrą liczby 18, czyli nad 8). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 i wynik 14 wpisujemy pod liczbą 18, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 18-14=4 i wynik 4 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać następująco: 18÷14=1 reszty 4.

    dzielenie2
     
  3. Do wyniku odejmowania opisanego w punkcie 2, czyli do otrzymanej reszty z dzielenia dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik. Tak jak poprzednio wynik zapisujemy nad kreską, a pod spodem resztę z tego dzielenia.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: do 4 dopisujemy cyfrę 3 (czyli kolejną cyfrę, która znajduje się za liczbą 18) i otrzymujemy liczbę 43, którą dzielimy przez dzielnik 14. Inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 43. Liczba 14 zmieści się w 43 trzy razy, czyli 3 piszemy nad kreską (za 1), a następnie wykonujemy mnożenie 3•14=42i wynik 42 zapisujemy pod liczbą 43, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 43-42=1 i wynik 1 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać: 43÷14=3 reszty 1.

    dzielenie2
     
  4. Analogicznie jak poprzednio do otrzymanej reszty dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik.
    W naszym przykładzie:
    do 1 dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 4. Otrzymujemy liczbę 14, którą dzielimy przez dzielnik 14, w wyniku otrzymujemy 1 i wpisujemy ją nad kreską (po3). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 w wynik 14 zapisujemy pod 14, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 14-14=0.
    Opisane postępowanie możemy zapisać 14÷14=1, czyli otrzymaliśmy dzielenie bez reszty, co kończy nasze dzielenie.

    dzielenie3
     
  5. Wynik dzielenia liczby 1834 przez 14 znajduje się nad kreską, czyli otrzymujemy ostatecznie iloraz 1834÷14=131.

Zobacz także
Udostępnij zadanie