$a)$  

Rozwiążemy na dwa sposoby. 

$\underline{\text{pierwszy sposoˊb}}$  

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Po drodze przydatne także będą wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz na różncię kwadratów. 

${\left(2\sqrt{2}-3\right)}^3-{\left(2\sqrt{2}+3\right)}^3=\left[\left(2\sqrt{2}-3\right)-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right]\cdot \left[{\left(2\sqrt{2}-3\right)}^2+\left(2\sqrt{2}-3\right)\left(2\sqrt{2}+3\right)+{\left(2\sqrt{2}+3\right)}^2\right]=$  

$=\left[2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}-3\right]\cdot \left[\left({\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3+3^2\right)+\left({\left(2\sqrt{2}\right)}^2-3^2\right)+\left({\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3+3^2\right)\right]=$  

$=\left(-6\right)\cdot \left[8-12\sqrt{2}+9+8-9+8+12\sqrt{2}+9\right]=$  

$=-6\cdot 33=-198$  

 

 

$\underline{\text{drugi sposoˊb}}$  

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian róznicy oraz sześcian sumy. 

${\left(2\sqrt{2}-3\right)}^3-{\left(2\sqrt{2}+3\right)}^3=\left[{\left(2\sqrt{2}\right)}^3-3\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^2\cdot 3+3\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3^2-3^3\right]-\left[{\left(2\sqrt{2}\right)}^3+3\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^2\cdot 3+3\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3^2+3^3\right]=$  

$=\left[8\cdot 2\sqrt{2}-3\cdot 4\cdot 2\cdot 3+3\cdot 2\sqrt{2}\cdot 9-27\right]-\left[8\cdot 2\sqrt{2}+3\cdot 4\cdot 2\cdot 3+3\cdot 2\sqrt{2}\cdot 9+27\right]=$  

$=\left(16\sqrt{2}-72+54\sqrt{2}-27\right)-\left(16\sqrt{2}+72+54\sqrt{2}+27\right)=$  

$=16\sqrt{2}-72+54\sqrt{2}-27-16\sqrt{2}-72-54\sqrt{2}-27=-198$  

 

 

 

$b)$  

Podobnie jak poprzednio, rozwiążemy na dwa sposoby.

$\underline{\text{pierwszy sposoˊb}}$  

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Po drodze przydatny także będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

${\left(3+\sqrt{2}\right)}^3-{\left(2+\sqrt{2}\right)}^3=\left[\left(3+\sqrt{2}\right)-\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\cdot \left[{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2+\left(3+\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)+{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2\right]=$  

$=\left[3+\sqrt{2}-2-\sqrt{2}\right]\cdot \left[\left(3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2\right)+\left(6+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2\right)+\left(2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2\right)\right]=$  

$=1\cdot \left[\left(9+6\sqrt{2}+2\right)+\left(8+5\sqrt{2}\right)+\left(4+4\sqrt{2}+2\right)\right]=$  

$=11+6\sqrt{2}+8+5\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}=25+15\sqrt{2}$  

 

$\underline{\text{drugi sposoˊb}}$  

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy. 

${\left(3+\sqrt{2}\right)}^3-{\left(2+\sqrt{2}\right)}^3=\left(3^3+3\cdot 3^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 3\cdot {\sqrt{2}}^2+{\sqrt{2}}^3\right)-\left(2^3+3\cdot 2^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot {\sqrt{2}}^2+{\sqrt{2}}^3\right)=$  

$=\left(27+3\cdot 9\cdot \sqrt{2}+3\cdot 3\cdot 2+2\sqrt{2}\right)-\left(8+3\cdot 4\cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot 2+2\sqrt{2}\right)=$  

$=\left(27+27\sqrt{2}+18+2\sqrt{2}\right)-\left(8+12\sqrt{2}+12+2\sqrt{2}\right)=$

$=\left(45+29\sqrt{2}\right)-\left(20+14\sqrt{2}\right)=$  

$=45+29\sqrt{2}-20-14\sqrt{2}=25+15\sqrt{2}$  

 

 

 

$c)$  

$-{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2\cdot {\left(\sqrt{3}+1\right)}^2\cdot \left(3+\sqrt{3}+1\right)\left(3-\sqrt{3}+1\right)=$  

$=-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\left({\sqrt{3}}^2+\sqrt{3}\cdot 1+1^2\right)\left({\sqrt{3}}^2-\sqrt{3}\cdot 1+1^2\right)=$  

$=-\underset{{\sqrt{3}}^2-1^2=3-1=2}{\underbrace{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\underset{{\sqrt{3}}^3-1^3=3\sqrt{3}-1}{\underbrace{\left(\sqrt{3}-1\right)\left({\sqrt{3}}^2+\sqrt{3}\cdot 1+1^2\right)}}\underset{{\sqrt{3}}^3+1^3=3\sqrt{3}+1}{\underbrace{\left(\sqrt{3}+1\right)\left({\sqrt{3}}^2-\sqrt{3}\cdot 1+1^2\right)}}=$          

$=-2\left(3\sqrt{3}-1\right)\left(3\sqrt{3}+1\right)=-2\left({\left(3\sqrt{3}\right)}^2-1^2\right)=-2\left(9\cdot 3-1\right)=-2\left(27-1\right)=-2\cdot 26=-52$  

 

 

 

$d)$  

$\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)=$  

$=\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\right)\left({\sqrt[3]{3}}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\sqrt[3]{2}}^2\right)\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)\left({\sqrt[3]{3}}^2-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\sqrt[3]{2}}^2\right)=$  

$=\left({\sqrt[3]{3}}^3-{\sqrt[3]{2}}^3\right)\left({\sqrt[3]{3}}^3+{\sqrt[3]{2}}^3\right)=\left(3-2\right)\left(3+2\right)=1\cdot 5=5$