Postać ogólna prostej:

$Ax+By+C=0$  

 

a) Weźmy postać kierunkową pewnej prostej:

$y=ax+b$  

Jeżeli prosta przechodzi przez punkt P, to punkt P spełnia równanie tej prostej zatem:

$y_1=a{x}_1+b$  

stąd:

$b=y_1-a{x}_1$  

 

czyli nasze równanie ma postać:

$y=ax+y_1-a{x}_1$  

$y=ax-a{x}_1+y_1$  

$y=a\left(x-x_1\right)+y_1$  

 

Podstawmy współrzędne punktu P:

$y=a\left(x+1\right)+2$   

$y=ax+a+2$  

$-ax+y-a-2=0$  

 

Odległość naszej prostej od początku układu współrzędnych wynosi  $\frac{4\sqrt{5}}{5}$  

$\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{\left|-a\cdot 0+1\cdot 0-a-2\right|}{\sqrt{{\left(-a\right)}^2+1^2}}$  

$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{\left|-a-2\right|}{\sqrt{a^2+1}}$    

Podnieśmy do kwadratu obustronnie równanie:

$\frac{16}{5}=\frac{{\left|a+2\right|}^2}{a^2+1}$    

Możemy opuścić wartość bezwzględną gdyż cały dwumian jest podnoszony do kwadratu:

$\frac{16}{5}=\frac{{\left(a+2\right)}^2}{a^2+1}$