a) Wyznaczmy prostą AB:
{f(−2)=1f(4)=−1
{−2a+b=14a+b=−1
−
−6a=2
a=−31
Stąd:
−2⋅(−31)+b=1
32+b=1
b=31
a więc:
y1=−31x+31
Wyznaczmy środek odcinka AB:
SAB=(2xA+xB,2yA+yB)=(2−2+4,21+(−1))=(1,0)
Prosta prostopadła do prostej y1 przechodząca przez punkt S będzie symetralną odcinka AB, współczynnik kierunkowy wynosi:
a=3
y2=3x+b
0=3⋅1+b
b=−3
Symetralna jest dana równaniem:
y2=3x−3
b) Zapiszmy symetralną w postaci ogólnej:
y=2x−1
−2x+y+1=0
Obliczmy odległość punktu A od prostej:
d=A2+B2∣Ax+By+C∣=(−2)2+12∣−2⋅(−1)+1⋅5+1∣=4+1∣2+5+1∣=58=585
Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek A i B, prosta przechodząca przez te punkty jest prostopadła do symetralnej a więc:
y=−21x+b
Podstawmy współrzędne punktu A:
5=−21⋅(−1)+b
5=21+b
b=29
zatem:
y=−21x+29
Oznaczmy współrzędne punktu B przez
B=(x,−21x+29)
Zatem odcinek AB ma długość:
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2=(x+1)2+(−21x+29−5)2=2d
(x+1)2+(−21x−21)2=2⋅585
(x+1)2+(−21x−21)2=4⋅2564⋅5
x2+2x+1+41x2+21x+41=5256
45x2+25x+45=5256 ∣⋅20
25x2+50x+25=1024
25x2+50x−999=0
Δ=502−4⋅25⋅(−999)=2500+99900=102400
Δ=102400=320
Współrzędna x musi być dodatnia bo punkt B leży po prawej stronie prostej 2x-1.
x=50−50+320=50270=527
B=(527,−21⋅527+29)=(527,−1027+1045)=(5,1827/10)=(527,59)
c) Skoro prosta y=x-2 jest symetralną odcinka to musimy wyznaczyć prostą prostopadłą do niej przechodzącą przez punkt (2,0)
y=−1x+b
0=−1⋅2+b
0=−2+b
b=2
y=−x+2
Oznaczmy współrzędne punktów A i B jako:
A=(xA,−xA+2)
B=(xB,−xB+2)
Punkt A leży w pierwszej ćwiartce zatem obie współrzędne są dodatnie a więc:
−xA+2>0
2>xA
Skoro odcięta odcinka AB wynosi 2 to:
2xA+xB=2
xA+xB=4
xB=4−xA
Długość odcinka AB wynosi 4:
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2
4=(4−2xA)2+(−xB+2−(−xA+2))2
16=(4−2xA)2+(−xB+xA)2
16=(4−2xA)2+(−(4−xA)+xA)2
16=(4−2xA)2+(−4+xA+xA)2
16=(4−2xA)2+(−4+2xA)2
16=(4−2xA)2+(−(4−2xA))2
16=2⋅(4−2xA)2
8=(4−2xA)2
8=16−16xA+4xA2
4xA2−16xA+8=0
xA2−4xA+2=0
Δ=(−4)2−4⋅1⋅2=16−8=8
xA<2
xA=24−22=2−2
xA=24+22=2+2>2
A=(2−2 ,−(2−2)+2)=(2−2,2)
B=(xB,xB−2)=(4−xA,4−xA−2)=(4−xA,2−xA)=(4−(2−2),2−(2−2))=(2+2,−2)
