Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Dla jakich wartości parametru m... 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

a) `x^4+2mx^2+1=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`t^2+2mt+1=0` 

`Delta=(2m)^2-4*1*1=4m^2-4` 

`4m^2-4 >0 \ \ \ |:4` 

`m^2-1 > 0` 

`(m-1)(m+1) > 0` 

`m in (-oo,-1)uu(1,+oo)` 

 

`t_1+t_2 >0` 

`-b/a > 0` 

`-2m > 0 \ \ \ |:(-2)` 

`m < 0` 

 

Odp. `m in (-oo, -1)` 


b) `(m-1)x^4+x^2+m=0` 

Założenie `m-1!=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`(m-1)t^2+t+m=0` 

`Delta=1^2-4(m-1)*m=1-4m^2+4m` 

`-4m^2+4m+1>0` 

`Delta_m=4^2-4*(-4)*1=16+16=32` 

`sqrt(Delta_m)=sqrt32=4sqrt2` 

`m_1=(-4-4sqrt2)/(2*(-4))=(-4-4sqrt2)/(-8)=(1+sqrt2)/2` 

`m_2=(-4+4sqrt2)/(2*(-4))=(-4+4sqrt2)/(-8)=(1-sqrt2)/2` 

`m in ((1-sqrt2)/2,(1+sqrt2)/2)` 

 

`t_1+t_2 >0` 

`-b/a >0` 

`(-1)/(m-1) > 0 \ \ \ |*(m-1)^2` 

`-1(m-1) >0` 

`-m+1>0 \ \ \ |-1` 

`-m > -1 \ \ \ |*(-1)` 

`m < 1` 

`m in (-oo, 1)` 

Uwzględniając dziedzinę : 

`m in ((1-sqrt2)/2, 1)` 

 

`t_1*t_2 >0` 

`c/a > 0` 

`m/(m+1) > 0 \ \ \ \|*(m+1)^2` 

`m(m+1) > 0` 

`m in (-oo,0)uu(1,+oo)` 

Uwzględniając dziedzinę i wcześniejsze założenie : 

 

`m in ((1-sqrt2)/2, 0)`  

 

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Magda

3932

Nauczyciel

Matematyk z 22-letnim doświadczeniem, Uwielbia sport, przede wszystkim narciarstwo biegowe.

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Zobacz także
Udostępnij zadanie