Matematyka

Uzasadnij, że nierówność zachodzi dla każdej 4.58 gwiazdek na podstawie 12 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Rozpiszmy lewą stronę nierówności:

`root(3)((125x^6)/64)-sqrt((9x^4)/8)=root(3)(((5x^2)/4)^3)-sqrt(9x^4)/sqrt8=(5x^2)/4-(3x^2)/(sqrt4*sqrt2)=(5x^2)/4-(3x^2)/(2sqrt2)=`

`=(5x^2)/4-(3sqrt2x^2)/(2*sqrt2*sqrt2)=(5x^2)/4-(3sqrt2x^2)/4=((5-3sqrt2)x^2)/4=(5-3sqrt2)/4x^2`

Współczynnik stojący przy xjest dodatni, ponieważ:

`(5-3sqrt2)/4=(sqrt25-sqrt9*sqrt2)/4=(sqrt25-sqrt18)/4>0\ \ \ ("bo"\ 25-18>0,\ \ "czyli"\ \ sqrt25-sqt18>0)`

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:

`x^2>=0`

Jeśli pomnożymy powyższą nierówność przez współczynnik dodatni, to kierunek nierówności nie zmieni się:

`x^2>=0\ \ \ \ |*(5-3sqrt2)/4>0`

`(5-3sqrt2)/4x^2>=0`

Nierówność została wykazana - zachodzi dla dowolnej liczy rzeczywistej x. 

 

 

 

`b)`

Nierówność podana w treści zadania jest równoważna następującej nierówności:

`root(3)((64x^12)/27)-sqrt(0,01x^8)-(2sqrt3)/3x^4>=0`

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

`root(3)((64x^12)/27)-sqrt(0,01x^8)-(2sqrt3)/3x^4=root(3)(((4x^4)/3)^3)-sqrt((0,1x^4)^2)-(2sqrt3)/3x^4=`

`=(4x^4)/3-0,1x^4-(2sqrt3)/3x^4=4/3x^4-1/10x^4-(2sqrt3)/3x^4=`

`=(4/3-1/10-(2sqrt3)/3)x^4=(40/30-3/30-(20sqrt3)/30)x^4=`

`=((37-20sqrt3)/30)x^4`

     

Współczynnik stojący przy x4 jest dodatni, ponieważ:

`(37-20sqrt3)/30~~(37-20*1,73)/30=(37-34,6)/30>0`

 

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:

`x^2>=0`

Jeśli liczbę nieujemną ponownie podniesiemy do kwadratu, to uzyskamy liczbę nieujemną:

`(x^2)^2>=0`

`x^4>=0`

 

Jeśli pomnożymy powyższą nierówność przez współczynnik dodatni, to kierunek nierówności nie zmieni się:

`x^4>=0\ \ \ \ \ |*(37-20sqrt3)/30>0`

`(37-20sqrt3)/30x^4>=0`

Nierówność została wykazana - zachodzi dla dowolnej liczy rzeczywistej x. 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-10-04
Dzięki!!!!
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Zobacz także
Udostępnij zadanie