Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Napisz układ nierówności 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Zaznaczona na zielono pionowa prosta ma równanie x=-2, obszar znajduje się na prawo od niej, więc mamy pierwszą nierówność:

`x>=-2`

 

Zaznaczona na niebiesko pionowa prosta ma równanie x=3, obszar znajduje się na lewo od niej, więc mamy drugą nierówność:

`x<=3`

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej zaznaczonej na żółto - przechodzi ona przez punkty (-2; 3) oraz (3; 0). 

Prosta ma równanie y=ax+b. Wystarczy podstawić współrzędne punktów w miejsce x oraz y. 

`{(3=a*(-2)+b\ \ \ |*(-2)), (0=a*3+b):}`

`{(-3=2a-b), (0=3a+b):}\ \ \ \ |+`

`-3=5a\ \ \ |:5`

`a=-3/5`

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu:

`0=3*(-3/5)+b`

`0=-9/5+b\ \ \ |+9/5`

`b=9/5`

 

Prosta ma więc równanie:

`y=-3/5x+9/5`

Obszar znajduje się pod prostą, więc mamy trzecią nierówność:

`y<=-3/5x+9/5`

 

 

W analogiczny sposób wyznaczymy równanie prostej zaznaczonej na różowo - przechodzi ona przez punkty (-2; 0) oraz (3; -3).

`{(0=a*(-2)+b), (-3=a*3+b):}`

`{(b=2a), (-3=3a+2a):}`

`{(b=2a), (-3=5a\ \ \ |:5):}`

`{(b=2a), (a=-3/5):}`

`{(b=2*(-3/5)=-6/5), (a=-3/5):}`

Prosta ma więc równanie:

`y=-3/5x-6/5`

 

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=-3/5x-6/5`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(x>=-2), (x<=3), (x<=-3/5x+9/5), (x>=-3/5x-6/5):}`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

Obszar znajduje się na prawo od pionowej prostej o równaniu x=-3, mamy więc pierwszą nierówność:

`x>=-3`

 

Obszar znajduje się na lewo od pionowej prostej o równaniu x=3, mamy więc drugą nierówność:

`x<=3`

 

Górna prosta przechodzi przez punktu (-3; 1) oraz (3; 3) - podstawmy współrzędne punktów do równania prostej y=ax+b i wyznaczmy współczynniki a oraz b:

`{(1=a*(-3)+b\ \ \ |*(-1)), (3=a*3+b):}`

`{(-1=3a-b), (3=3a+b):}\ \ \ |+`

`2=6a\ \ \ |:6`

`a=2/6=1/3`

Podstawmy wartość współczynnika a do drugiego równania drugiego układu równań:

`3=3*1/3+b`

`3=1+b\ \ \ |-1`

`b=2`

Prosta ma więc równanie:

`y=1/3x+2`

Obszar znajduje się pod tą prostą, mamy więc trzecią nierówność:

`y<=1/3x+2`

 

 

Wyznaczmy równanie dolnej prostej - przechodzi ona przez punkty (-3; -1) przez (0; -2). Wiemy, że prosta o równaniu y=ax+b przecina oś OY w punkcie (0; b), więc prosta ma równanie y=ax-2. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu (-3; -1) do tego równania i wyznaczyć wartość współczynnika a:

`-1=a*(-3)-2\ \ \ |+2`

`1=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=-1/3`

Dolna prosta ma więc równanie:

`y=-1/3x-2`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=-1/3x-2`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(x>=-3), (x<=3), (y<=1/3x+2), (y>=-1/3x-2):}`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`c)`

Prosta znajdująca się po lewej stronie przechodzi przez punkty (-3; -3) oraz (-2; 0). Wyznaczmy równanie tej prostej:

`{(-3=a*(-3)+b), (0=a*(-2)+b):}`

`{(-3=-3a+b), (b=2a):}`

`{(-3=-3a+2a), (b=2a):}`

`{(-3=-a\ \ \ |*(-1)), (b=2a):}`

`{(a=3), (b=2*3=6):}`

Prosta ma więc równanie:

`y=3x+6`

Obszar znajduje się pod prostą, mamy więc pierwszą nierówność:

`y<=3x+6`

 

 

Prosta znajdująca się po lewej stronie jest równoległa do poprzedniej prostej, ma więc równanie:

`y=3x+b`

Prosta ta przechodzi przez punkt (2; 0) - podstawmy współrzędne tego punktu do równania i obliczmy wartość współczynnika a:

`0=3*2+b`

`0=6+b\ \ \ |-6`

`b=-6`

Prosta ma więc równanie:

`y=3x-6`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc drugą nierówność:

`y>=3x-6`

 

 

Górna prosta przechodzi przez punkty (-2; 0) oraz (3; 3). Wyznaczmy równanie tej prostej:

`{(0=a*(-2)+b) , (3=a*3+b):}`

`{(b=2a), (3=3a+2a):}`

`{(b=2a), (3=5a\ \ \ |:5):}`

`{(b=2a), (a=3/5):}`

`{(b=2*3/5=6/5), (a=3/5):}`

Górna prosta ma więc równanie:

`y=3/5x+6/5`

Obszar znajduje się pod prostą, mamy więc trzecią nierówność:

`y<=3/5x+6/5`

 

Dolna prosta jest równoległa do poprzedniej prostej, ma więc równanie:

`y=3/5x+b`

Prosta ta przechodzi przez punkt (2; 0) - podstawmy współrzędne tego punktu do równania i obliczmy wartość współczynnika a:

`0=3/5*2+b`

`0=6/5+b\ \ \ |-6/5`

`b=-6/5`

Dolna prosta ma więc równanie:

`y=3/5x-6/5`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=3/5x-6/5`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(y<=3x+6), (y>=3x-6), (y<=3/5x+6/5), (y>=3/5x-6/5):}`