Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Napisz układ nierówności 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Zaznaczona na zielono pionowa prosta ma równanie x=-2, obszar znajduje się na prawo od niej, więc mamy pierwszą nierówność:

`x>=-2`

 

Zaznaczona na niebiesko pionowa prosta ma równanie x=3, obszar znajduje się na lewo od niej, więc mamy drugą nierówność:

`x<=3`

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej zaznaczonej na żółto - przechodzi ona przez punkty (-2; 3) oraz (3; 0). 

Prosta ma równanie y=ax+b. Wystarczy podstawić współrzędne punktów w miejsce x oraz y. 

`{(3=a*(-2)+b\ \ \ |*(-2)), (0=a*3+b):}`

`{(-3=2a-b), (0=3a+b):}\ \ \ \ |+`

`-3=5a\ \ \ |:5`

`a=-3/5`

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu:

`0=3*(-3/5)+b`

`0=-9/5+b\ \ \ |+9/5`

`b=9/5`

 

Prosta ma więc równanie:

`y=-3/5x+9/5`

Obszar znajduje się pod prostą, więc mamy trzecią nierówność:

`y<=-3/5x+9/5`

 

 

W analogiczny sposób wyznaczymy równanie prostej zaznaczonej na różowo - przechodzi ona przez punkty (-2; 0) oraz (3; -3).

`{(0=a*(-2)+b), (-3=a*3+b):}`

`{(b=2a), (-3=3a+2a):}`

`{(b=2a), (-3=5a\ \ \ |:5):}`

`{(b=2a), (a=-3/5):}`

`{(b=2*(-3/5)=-6/5), (a=-3/5):}`

Prosta ma więc równanie:

`y=-3/5x-6/5`

 

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=-3/5x-6/5`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(x>=-2), (x<=3), (x<=-3/5x+9/5), (x>=-3/5x-6/5):}`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

Obszar znajduje się na prawo od pionowej prostej o równaniu x=-3, mamy więc pierwszą nierówność:

`x>=-3`

 

Obszar znajduje się na lewo od pionowej prostej o równaniu x=3, mamy więc drugą nierówność:

`x<=3`

 

Górna prosta przechodzi przez punktu (-3; 1) oraz (3; 3) - podstawmy współrzędne punktów do równania prostej y=ax+b i wyznaczmy współczynniki a oraz b:

`{(1=a*(-3)+b\ \ \ |*(-1)), (3=a*3+b):}`

`{(-1=3a-b), (3=3a+b):}\ \ \ |+`

`2=6a\ \ \ |:6`

`a=2/6=1/3`

Podstawmy wartość współczynnika a do drugiego równania drugiego układu równań:

`3=3*1/3+b`

`3=1+b\ \ \ |-1`

`b=2`

Prosta ma więc równanie:

`y=1/3x+2`

Obszar znajduje się pod tą prostą, mamy więc trzecią nierówność:

`y<=1/3x+2`

 

 

Wyznaczmy równanie dolnej prostej - przechodzi ona przez punkty (-3; -1) przez (0; -2). Wiemy, że prosta o równaniu y=ax+b przecina oś OY w punkcie (0; b), więc prosta ma równanie y=ax-2. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu (-3; -1) do tego równania i wyznaczyć wartość współczynnika a:

`-1=a*(-3)-2\ \ \ |+2`

`1=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=-1/3`

Dolna prosta ma więc równanie:

`y=-1/3x-2`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=-1/3x-2`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(x>=-3), (x<=3), (y<=1/3x+2), (y>=-1/3x-2):}`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`c)`

Prosta znajdująca się po lewej stronie przechodzi przez punkty (-3; -3) oraz (-2; 0). Wyznaczmy równanie tej prostej:

`{(-3=a*(-3)+b), (0=a*(-2)+b):}`

`{(-3=-3a+b), (b=2a):}`

`{(-3=-3a+2a), (b=2a):}`

`{(-3=-a\ \ \ |*(-1)), (b=2a):}`

`{(a=3), (b=2*3=6):}`

Prosta ma więc równanie:

`y=3x+6`

Obszar znajduje się pod prostą, mamy więc pierwszą nierówność:

`y<=3x+6`

 

 

Prosta znajdująca się po lewej stronie jest równoległa do poprzedniej prostej, ma więc równanie:

`y=3x+b`

Prosta ta przechodzi przez punkt (2; 0) - podstawmy współrzędne tego punktu do równania i obliczmy wartość współczynnika a:

`0=3*2+b`

`0=6+b\ \ \ |-6`

`b=-6`

Prosta ma więc równanie:

`y=3x-6`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc drugą nierówność:

`y>=3x-6`

 

 

Górna prosta przechodzi przez punkty (-2; 0) oraz (3; 3). Wyznaczmy równanie tej prostej:

`{(0=a*(-2)+b) , (3=a*3+b):}`

`{(b=2a), (3=3a+2a):}`

`{(b=2a), (3=5a\ \ \ |:5):}`

`{(b=2a), (a=3/5):}`

`{(b=2*3/5=6/5), (a=3/5):}`

Górna prosta ma więc równanie:

`y=3/5x+6/5`

Obszar znajduje się pod prostą, mamy więc trzecią nierówność:

`y<=3/5x+6/5`

 

Dolna prosta jest równoległa do poprzedniej prostej, ma więc równanie:

`y=3/5x+b`

Prosta ta przechodzi przez punkt (2; 0) - podstawmy współrzędne tego punktu do równania i obliczmy wartość współczynnika a:

`0=3/5*2+b`

`0=6/5+b\ \ \ |-6/5`

`b=-6/5`

Dolna prosta ma więc równanie:

`y=3/5x-6/5`

Obszar znajduje się nad prostą, mamy więc czwartą nierówność:

`y>=3/5x-6/5`

 

Możemy zapisać szukany układ nierówności:

`{(y<=3x+6), (y>=3x-6), (y<=3/5x+6/5), (y>=3/5x-6/5):}`

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Zobacz także
Udostępnij zadanie