Matematyka

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań 4.64 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

2
 Zadanie

3
 Zadanie

`a)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-2y=4\ \ \ \ |*(-1)), (3x-y=5):}`

`{(-3x+2y=-4) , (3x-y=5):}\ \ \ \ |+`

`y=1`

Podstawiamy do drugiego równania ostatniego układu:

`3x-1=5\ \ \ \ |+1`

`3x=6\ \ \ \ |:3`

`x=2`

 

`{(x=2), (y=1):}`

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

Przekształcamy każde równanie do postaci kierunkowej: 

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3x-y=5\ \ \ |-3x):}`

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-y=-3x+5\ \ \ |*(-1)):}`

`{(y=3/2x-2), (y=3x-5):}`

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

`y=3/2x-2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1`

 

 

`y=3x-5`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-5=0-5=-5`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-5=3-5=-2`

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu: 

`{(x=2), (y=1):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))) `

 

 

 

`b)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-2y=4), (3/2x-y=2\ \ \ \ |*(-2)):}`

`{(3x-2y=4), (-3x+2y=-4):}\ \ \ \ |+`

`0=0`

Otrzymaliśmy równość zawsze prawdziwą, co oznacza, że układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia je każda para liczb taka, że:

`{(3/2x-y=2\ \ \ \ |-3/2x), (x in RR):}`

`{(-y=-3/2x+2\ \ \ |*(-1)), (x in RR):}`

`{(y=3/2x-2), (x in RR):}`

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3/2x-y=2\ \ \ \|-3/2x):}`

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-y=-3/2x+2\ \ \ |*(-1)):}`

`{(y=3/2x-2), (y=3/2x-2):}`

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1`

  

Rozwiązaniem układu są wszystkie pary liczb takie, że:

`{(y=3/2x-2) , (x in RR):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`c)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-2y=4\ \ \ |*(-1)), (3x-2y=5):}`

`{(-3x+2y=-4) , (3x-2y=5):}\ \ \ \ |+`

`0=1`

Równość jest nieprawdziwa, co oznacza, że ten układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-2y=4\ \ \ |-3x), (3x-2y=5\ \ \ \|-3x):}`

`{(-2y=-3x+4\ \ \ |:(-2)), (-2y=-3x+5\ \ \ |:(-2)):}`

`{(y=3/2x-2) , (y=3/2x-5/2):}`

 

`y=3/2x-2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0-2=0-2=-2`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*2-2=3-2=1`

 

 

`y=3/2x-5/2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*(-1)+5/2=-3/2-5/2=-8/2=-4`

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-10-12
Dzieki za pomoc
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej;

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej;

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.
 

Przykład: Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.
Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1
Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Przykład: Porównajmy ułamki 0,8 i 0,81.
Zapisujemy ułamki jeden pod drugim, tak aby zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem. Ponadto dopisujemy 0 w ułamku 0,8.

porownanie2

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 0<1, zatem ułamek 0,81 jest większy od 0,8. Zatem 0,81>0,8.

Zobacz także
Udostępnij zadanie