$a)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y+x=7\end{array}$

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ \frac{1}{3}x+3+x=7\mid \cdot 3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ x+9+3x=21\mid -9\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ 4x=12\mid :4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ x=3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}\cdot 3+3=1+3=4\\ x=3\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

Przekształcamy każde równanie do postaci kierunkowej. 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y+x=7\mid -x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y=-x+7\end{array}$

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

$y=\frac{1}{3}x+3$

$x=0\to y=\frac{1}{3}\cdot 0+3=0+3=3$

$x=3\to y=\frac{1}{3}\cdot 3+3=1+3=4$

 

$y=-x+7$

$x=2\to y=-2+7=5$

$x=4\to y=-4+7=3$

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$b)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y+3x=-12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4\left(-2x+2\right)+3x=-12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -8x+8+3x=-12\mid -8\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -5x=-20\mid :\left(-5\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ x=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot 4+2=-8+2=-6\\ x=4\end{array}$

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y+3x=-12\mid -3x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y=-3x-12\mid :4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ y=-\frac{3}{4}x-3\end{array}$

 

$y=-2x+2$

$x=0\to y=-2\cdot 0+2=0+2=2$

$x=1\to y=-2\cdot 1+2=-2+2=0$

 

 

$y=-\frac{3}{4}x-3$

$x=0\to y=-\frac{3}{4}\cdot 0-3=0-3=-3$

$x=-4\to y=-\frac{3}{4}\cdot \left(-4\right)-3=3-3=0$

 

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-6\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$c)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}y-3x+4=0\\ 4=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-3\cdot 4+4=0\\ x=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-12+4=0\\ x=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-8=0\mid +8\\ x=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=8\\ x=4\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej. 

$\{\begin{array}{l}y-3x+4=0\mid +3x-4\\ 4=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=3x-4\\ x=4\end{array}$

 

$y=3x-4$

$x=0\to y=3\cdot 0-4=0-4=-4$

$x=2\to y=3\cdot 2-4=6-4=2$

 

 

 

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=8\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$d)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}y-2x=4\\ 1-y=0\mid +y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-2x=4\\ y=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}1-2x=4\mid -1\\ y=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-2x=3\mid :\left(-2\right)\\ y=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ y=1\end{array}$

 

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

$\{\begin{array}{l}y-2x=4\mid +2x\\ 1-y=0\mid +y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ y=1\end{array}$

 

$y=2x+4$

$x=-1\to y=2\cdot \left(-1\right)+4=-2+4=2$

$x=-2\to y=2\cdot \left(-2\right)+4=-4+4=0$

 

 

$\{\begin{array}{l}x=-1\frac{1}{2}\\ y=1\end{array}$

 

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$e)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}2x-3y=6\mid \cdot 2\\ -\frac{4}{3}x+2y=-4\mid \cdot 3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x-6y=12\\ -4x+6y=-12\end{array}\mid +$

$0=0$

Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

Spełnia je każda taka para liczb, że:

$\{\begin{array}{l}2x-3y=6\mid -2x\\ x\in \mathbb{R}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-3y=-2x+6\mid :\left(-3\right)\\ x\in \mathbb{R}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-2\\ x\in \mathbb{R}\end{array}$

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

$\{\begin{array}{l}2x-3y=6\mid -2x\\ -\frac{4}{3}x+2y=-4\mid +\frac{4}{3}x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-3y=-2x+6\mid :\left(-3\right)\\ 2y=\frac{4}{3}x-4\mid :2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-2\\ y=\frac{2}{3}x-2\end{array}$

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

$x=0\to y=\frac{2}{3}\cdot 0-2=0-2=-2$

$x=3\to y=\frac{2}{3}\cdot 3-2=2-2=0$

 

 

$\underline{\underline{\underline{}}}$

 

 

$f)$

$\underline{\underline{\text{sposoˊb algebraiczny}}}$

$\{\begin{array}{l}3y+x=9\\ y+3=-\frac{1}{3}x\mid \cdot \left(-3\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3y+x=9\\ -3y-9=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3y+\left(-3y-9\right)=9\\ x=-3y-9\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3y-3y-9=9\\ x=-3y-9\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-9=9\\ x=-3y-9\end{array}$

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. 

 

$\underline{\underline{\text{sposoˊb graficzny}}}$

$\{\begin{array}{l}3y+x=9\mid -x\\ y+3=-\frac{1}{3}x\mid -3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3y=-x+9\mid :3\\ y=-\frac{1}{3}x-3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+3\\ y=-\frac{1}{3}x-3\end{array}$

 

$y=-\frac{1}{3}x+3$

$x=0\to y=-\frac{1}{3}\cdot 0+3=0+3=3$

$x=3\to y=-\frac{1}{3}\cdot 3+3=-1+3=2$

 

 

$y=-\frac{1}{3}x-3$

$x=0\to y=-\frac{1}{3}\cdot 0-3=0-3=-3$

$x=3\to y=-\frac{1}{3}\cdot 3-3=-1-3=-4$

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania.