Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era)

Rozwiąż algebraicznie i graficznie 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(x+y=-4 \ \ \ |-x), (2x+y=-5):}`

`{(y=-x-4), (2x+(-x-4)=-5):}`

`{(y=-x-4), (2x-x-4=-5):}`

`{(y=-x-4), (x-4=-5\ \ \ |+4):}`

`{(y=-x-4), (x=-1):}`

`{(y=1-4=-3), (x=-1):}`

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(x+y=-4\ \ \ |-x), (2x+y=-5\ \ \ |-2x):}`

`{(y=-x-4), (y=-2x-5):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)-4=2-4=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ -2)`

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-5=0-5=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -5)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-5=2-5=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -3)`

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=-3):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (2x-3y=2):}`

`{(-9x+3y=-9), (2x-3y=2):}\ \ \ \ |+`

`-7x=-7\ \ \ |:(-7)`

`x=1`

 

Podstawiamy wyliczoną wartość x do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*1-y=3`

`3-y=3\ \ \ |-3`

`-y=0\ \ \ |*(-1)`

`y=0`

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}`

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (2x-3y=2\ \ \ |-2x):}`

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-2x+2\ \ \ |:(-3)):}`

`{(y=3x-3), (y=2/3x-2/3):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3\ \ \ -> \ \ \ "punkt"\ (0;\ -3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*1-2/3=2/3-2/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 0)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*4-2/3=8/3-2/3=6/3=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)`

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x+2y=1),(x-2y=-5):}\ \ \ |+`

`4x=-4\ \ \ |:4`

`x=-1`

 

Podstawiamy wyliczoną wartość y do pierwszego równania: 

`3*(-1)+2y=1`

`-3+2y=1\ \ \ |+3`

`2y=4\ \ \ |:2`

`y=2`

 

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=2):}`

 

 

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x+2y=1\ \ \ \|-3x), (x-2y=-5\ \ \ |-x):}`

`{(2y=-3x+1\ \ \ |:2), (-2y=-x-5\ \ \ |:(-2)):}`

`{(y=-3/2x+1/2), (y=1/2x+5/2):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*1+1/2=-3/2+1/2=-2/2=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -1)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*3+1/2=-9/2+1/2=-8/2=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -4)`

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+5/2=1/2+5/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+5/2=3/2+5/2=8/2=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)`

 

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

 

Odczytujemy rozwiązanie układu:

`{(x=-1), (y=2):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą dzielimy (czyli w 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady:

  • $$0,34÷10= 0,034$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo
  • $$311,25÷100= 3,1125$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo
  • $$53÷1000= 0,053$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo
Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Zobacz także
Udostępnij zadanie