Czy kąt wewnętrzny wielokąta foremnego może mieć miarę ... - Zadanie 10: Matematyka z plusem 2

Rozwiązanie

I sposób:

Zastanawiamy się co by było, gdyby kąt wewnętrzny wielokąta miał miarę 145°.

Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta miałby miarę 145°.

Wielokąt ten podzielilibyśmy na przystające trójkąty równoramienne (promienie okręgu opisanego na tym wielokącie byłyby ramionami tego trójkąta).

Oznacza to, że suma miar kątów leżących przy podstawach trójkątów na jakie został podzielony ten wielokąt wynosiłaby 130° (suma miar kątów leżących przy wspólnym ramieniu dwóch trójkątów).

Obliczamy jaką miarę miałby kąt leżący między ramionami tych trójkątów.
$180^{o} - 145^{o} = 35^{o}$
Kąt leżący między ramionami tych trójkątów miałby miarę 35°.

Okrąg opisany na tym wielokącie podzielilibyśmy na tyle części (na tyle przystających wycinków koła), na ile trójkątów zostałby podzielony wielokąt.

Kąt środkowy każdego z wycinków koła miałby taką samą miarę jak kąt między ramionami trójkątów, czyli kąt środkowy każdego z wycinków miałby miarę 35°.

Okrąg zostałby podzielony na pewną ilość (x) wycinków koła o kącie środkowym 35°.

Obliczamy na ile wycinków zostałby podzielony okrąg.
$x = \frac{360 ^{o}}{35 ^{o}} = 10 \frac{10}{35} = 10 \frac{2}{7}$

Okrąg zostałby podzielony na 10 ²/₇ wycinków.

Okręgu nie możemy podzielić na 10 ²/₇ równych wycinków koła. Możemy podzielić go na 10 lub 11 wycinków (na liczbę wycinków oznaczoną liczbą naturalną).
Nie możemy podzielić wielokąta na 10 ²/₇równych części.

Oznacza to, że nie istanieje wielokąt, którego kąt wewnętrzny ma miarę 145°.

II sposób:

Wzór pozwalający obliczyć ile wynosi miara kąta wewnętrznego ( $α$ ) dowolnego n-kąta ma postać:
$α = \frac{( n - 2 ) \cdot 180 ^{o}}{n}$