a)

Trójkąt na, którym opisany jest okrąg, jest trójkątem prostokatnym, ponieważ najdłuższy bok trójkąta jest średnicą okręgu. 

Stąd:

$\alpha ={90}^o$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

$\alpha +\beta +{72}^o={180}^o$

${90}^o+\beta +{72}^o={180}^o$

${162}^o+\beta ={180}^o$

$\beta ={180}^o-{162}^o$

$\beta ={18}^o$

$\underline{\underline{}}$ $\underline{\underline{}}$

b)

Promienie dzielą trójkąt ABC na trzy trójkąty równoramienne: ABS, SBC, ASC.

Kąt CAS ma taką samą miarę jak kąt SAC, czyli 40°.

Suma miar w trójkącie wynosi 180°. Stąd:

${40}^o+{40}^o+\alpha ={180}^o$

${80}^o+\alpha ={180}^o$

$\alpha ={100}^o$

 

Kąt BCS ma taką samą miarę jak kąt SBC, czyli 25°.

Suma miar w trójkącie wynosi 180°. Stąd:

${25}^o+{25}^o+\beta ={180}^o$

${50}^o+\beta ={180}^o$

$\beta ={130}^o$

Aby obliczyć γ musimy znać miarę kąta δ.

Suma miar kątów α, ß oraz δ wynosi 360°, ponieważ kąty te tworzą razem kąt pełny.

$\alpha +\beta +\delta ={360}^o$

Znamy miary kątów α, ß, więc podłóżmy je do powyższego równania.

${100}^o+{130}^o+\delta ={360}^o$

${230}^o+\delta ={360}^o$

$\delta ={130}^o$

Trójkąt ABS jest trójkątem równoramiennym, dlatego przy podstawie ma kąty o takiej samej miarze γ.

Suma miar kątów w trójkącie to 180°.

$\gamma +\gamma +\delta ={180}^o$

$2\gamma +{130}^o={180}^o$

$2\gamma ={50}^o$

$\gamma ={25}^o$

$\underline{\underline{}}$

c)

Trapez podzielony jest promieniami na cztery trójkąty równoramienne.

Stąd:

$\alpha ={46}^o$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°, więc:

${46}^o+\alpha +\beta ={180}^o$

Znamy już miarę kąta α. Podłóżmy ją do powyższego równania.

${46}^o+{46}^o+\beta ={180}^o$

${92}^o+\beta ={180}^o$

$\beta ={88}^o$

 

Trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę 98° także jest równoramienny. Dlatego przy podstawie znajdują się dwa kąty o takiej samej miarze, czyli kąty γ.

${98}^o+\gamma +\gamma ={180}^o$

$2\gamma ={82}^o$

$\gamma ={41}^o$