Matematyka

Autorzy:Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2015

Z jakich wielokątów foremnych 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Układając parkiet "bez dziur" chcemy, by kąty zewnętrzne wielokątów leżących obok siebie tworzyły kąt pełny, jak na poniższych rysunkach:

 

 

Wielokąt foremny o n bokach ma n jednakowych kątów wewnętrznych, więc miara jednego kąta wewnętrznego jest równa:

`((n-2)*180^o)/n` 

 

Zapiszmy, jakie są miary kątów wewnętrznych kilku wielokątów foremnych: 

`"trójkąt foremny (równoboczny)"\ \ \ ->\ \ \ ((3-2)*180^o)/3=180^o/3=60^o` 

`"czworokąt foremny (kwadrat)"\ \ \ ->\ \ \ ((4-2)*180^o)/4=(2*180^o)/4=(180^o)/2=90^o` 

`"pięciokąt foremny"\ \ \ ->\ \ \ ((5-2)*180^o)/5=(3*180^o)/5=3*36^o=108^o` 

`"sześciokąt foremny"\ \ \ ->\ \ \ ((6-2)*180^o)/6=(4*180^o)/6=(2*180^o)/3=2*60^o=120^o` 

 

 

 

Teraz musimy sprawdzić, które z tych miar są dzielnikami miary kąta pełnego, czyli 360°. 

Jeśli uda się podzielić bez reszty, to wynik poinformuje nas, ile wielokątów foremnych trzeba złożyć, aby otrzymać kąt pełny. 

`"trójkąt foremny (równoboczny)"\ \ \ ->\ \ \ 360^o:60^o=360:60=6` 

`"czworokąt foremny (kwadrat)"\ \ \ ->\ \ \ 360^o:90^o=360:90=4` 

`"pięciokąt foremny"\ \ \ ->\ \ \ 360^o:108^o=360:108=3\ r.\ 36` 

`"sześciokąt foremny"\ \ \ ->\ \ \ 360^o:120^o=360:120=3` 

 

Powyższe obliczenia informują, że potrzebujemy 6 trójkątów równobocznych lub 4 kwadratów lub 3 sześciokątów foremnych aby "złożyć" kąt pełny - wtedy w parkiecie nie będzie "dziur". 

 

Wiemy, że wielokąt foremny jest wielokątem wypukłym (każdy jego kąt ma miarę mniejszą niż 180°), więc nie możemy złożyć mniej niż 3 wielokątów, aby otrzymać kąt pełny (2 wielokąty foremne złożone obok siebie dadzą kąt mniejszy niż 180°+180°, czyli mniejszy niż 360°). Oznacza to, że wymienione poprzednio wielokąty są jedynymi możliwościami i tylko z takich wielokątów można układać parkiety "bez dziur".