Oznaczmy długość boku kwadratu jako a. Znamy wzór na długość przekątnej kwadratu o boku a:

$d=a\sqrt{2}$

Promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej kwadratu:

$R=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$

Obliczamy pole koła opisanego na kwadracie: 

$P_{\text{koła opisanego}}=\pi R^2=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\right)}^2=\pi \cdot \frac{1}{4}{a}^2\cdot 2=\frac{1}{2}\pi a^2$

 

Promień okręgu wpisanego w kwadrat to połowa długości boku kwadratu: 

$r=\frac{1}{2}a$

Obliczamy pole koła wpisanego w kwadrat:

$P_{\text{koła wpisanego}}=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\pi \cdot \frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{4}\pi a^2$

 

Pole pierścienia obliczymy, odejmując od pola koła opisanego na kwadracie pole koła wpisanego w ten kwadrat:

$P_{\text{piersˊcienia}}=\frac{1}{2}\pi a^2-\frac{1}{4}\pi a^2=\frac{2}{4}\pi a^2-\frac{1}{4}\pi a^2=\frac{1}{4}\pi a^2$

Rzeczywiście, pole pierścienia jest takie samo, jak pole koła wpisanego w kwadrat.