$I.$

Znamy wzór na długość przekątnej kwadratu o boku x:

$x\sqrt{2}$

 

U nas ta przekątna ma długość a, więc możemy zapisać równość:

$x\sqrt{2}=a$

 

Z powyższego wyrażenia wyznaczamy x:

$x=a:\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

 

Kwadrat ma 4 boki jednakowej długości, więc możemy obliczyć obwód:

$O={\sout{4}}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{2}aA$ $O={\sout{4}}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{2}aA$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$II.$

Znamy wzór na długość wysokości trójkąta równobocznego o boku x:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}$

 

U nas ta wysokość ma długość a, więc możemy zapisać zależność:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}=a$

 

Wyznaczamy z powyższej zależności x:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}=a\mid \cdot 2$

$x\sqrt{3}=2a\mid :\sqrt{3}$

$x=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$

 

Trójkąt równoboczny ma 3 boki jednakowej długości, więc możemy obliczyć obwód:

$O={\sout{3}}^1\cdot \frac{2\sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}a=2\sqrt{3}aC$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$III.$

Sześciokąt foremny o boku x można podzielić na 6 jednakowych trójkątów równobocznych o boku x: 

Zaznaczony odcinek stanowi dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku x, możemy więc zapisać zależność i wyznaczyć z niej x:

$2\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}=a$

$x\sqrt{3}=a\mid :\sqrt{3}$

$x=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

 

Sześciokąt foremny ma 6 boków jednakowej długości, możęmy więc obliczyć obwód sześciokąta:

$O={\sout{6}}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}=2\sqrt{3}aC$