Matematyka

Autorzy:Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Wielokąt foremny ma 20 przekątnych 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Mamy wzór na ilość przekątnych n-kąta:

`(n(n-3))/2` 

 

Obliczmy więc, ile boków ma wielokąt foremny mający 20 przekątnych: 

`(n(n-3))/2=20\ \ \ \ |*2` 

`n(n-3)=40` 

Iloczyn liczby naturalnej n i liczby od niej o 3 mniejszej jest równy 40. Liczba n musi być więc równa 8, wtedy liczba n-3 jest równa 5. 

Oznacza to, że tym wielokątem jest ośmiokąt foremny. 

 

Znamy wzór na sumę miar kątów w n-kącie:

`(n-2)*180^o` 

 

Zapiszmy więc, ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego: 

`(8-2)*180^o=6*180^o` 

 

Ośmiokąt foremny ma 8 kątów o jednakowych miarach. Obliczmy więc, ile wynosi miara jednego kąta wewnętrznego tego wielokąta:

`(6*180^o)/8=(3*180^o)/4=(3*90^o)/2=3*45^o=135^o\ \ \ \ \ \ odp.\ D` 

 

 

`ul(ul("uwaga"))` 

Dla dociekliwych przypominamy skąd się biorą te wzory. 

Jeśli wielokąt ma n boków, to ma też n wierzchołków. Z każdego z n wierzchołków można poprowadzić n-3 przekątne (nie możemy poprowadzić przekątnych do 2 sąsiednich wierzchołków oraz do wierzchołka, w którym aktualnie się znajdujemy). Mamy więc n(n-3) odcinków. Jednak w ten sposób każda przekątna jest liczona dwukrotnie - przekątna poprowadzona z punktu A do punktu B to przecież to samo, co przekątna poprowadzona z punktu B do punktu A. Dlatego właśnie iloczyn n(n-3) musimy podzielić przez 2 otrzymując wzór na liczbę przekątnych n-kąta: 

`ul(ul((n(n-3))/2))`