Matematyka

Matematyka 2001 (Podręcznik, WSiP)

Znajdź wszystkie pary liczb 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`x^2-y^2=15` 
`(x-y)(x+y)=15` 

Szukamy takich dwóch liczb, których iloczyn da 15. Takie liczby to 1 i 15 oraz 15 i 1, 3 i 5 oraz 5 i 3. 



a) Rozwiązania mają być liczbami naturalnymi.  

Zapisujemy układy równań, które pozwolą nam wyznaczyć pary liczb, będące rozwiązaniami tego równania. 

`I. \ {(x-y=1),(x+y=15):}` 

`II. \ {(x-y=15),(x+y=1):}` 

`III. \ {(x-y=3),(x+y=5):}` 

`IV. \ {(x-y=5),(x+y=5):}`    


Rozwiązujemy I układ równań
`{(x-y=1),(x+y=15):}` 

`{(x=1+y),(x+y=15):}` 

`(1+y)+y=15` 
`2y+1=15 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`2y=14 \ \ \ \ \ |:2` 
`y=7` 

`{(x=1+y),(y=7):}` 

`x=1+7` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=7):}` 

Liczby 7 i 8 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy II układ równań
`{(x-y=15),(x+y=1):}` 

`{(x=15+y),(x+y=1):}` 

`(15+y)+y=1` 
`15+2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ |-15` 
`2y=-14 \ \ \ \ \ \ |:2` 
`y=-7` 

`{(x=15+y),(y=-7):}` 

`x=15+(-7)` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=-7):}` 

Liczba -7 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -7 i 8 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązujemy III układ równań.  
`{(x-y=3),(x+y=5):}` 

`{(x=3+y),(x+y=5):}` 

`(3+y)+y=5` 
`3+2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`2y=2 \ \ \ \ \ \ \|:2` 
`y=1` 

`{(x=3+y),(y=1):}` 

`x=3+1` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=1):}` 

Liczby 4 i 1 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy IV układ równań
`{(x-y=5),(x+y=3):}` 

`{(x=5+y),(x+y=3):}` 

`(5+y)+y=3` 
`5+2y=3 \ \ \ \ \ \ \ |-5` 
`2y=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`  
`y=-1` 

`{(x=5+y),(y=-1):}` 

`x=5+(-1)` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=-1):}` 

Liczba -1 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -1 i 4 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązaniem równania są pary liczb: 
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rozwiązania mają być liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że rozwiązaniami wszystkich czterech układów równań (rozwiązane w podpunkcie a) są liczby całkowite. 
Każda para rozwiązań jest więc rozwiązaniem równania. 


Rozwiązaniem równania są pary liczb:
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`

`{(x=8),(y=-7):} \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ {(x=4),(y=-1):}`  

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001
Autorzy: Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Przeliczanie jednostek – centymetry na metry i kilometry

W praktyce ważna jest umiejętność przeliczania 1 cm na planie lub mapie na ilość metrów lub kilometrów w terenie.

  • 1 m = 100 cm
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 km = 1000 m = 100000 cm
  • 1 m = 0,001 km
  • 1 cm = 0,00001 km

Przykłady na przeliczanie skali mapy:

  • skala 1:2000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości, czyli 20 m policzmy: 2000 cm = 2000•0,01= 20 m
  • skala 1:30000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 30000 cm w rzeczywistości, czyli 300 m policzmy: 30000 cm = 30000•0,01= 300 m
  • skala 1:500000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości, czyli 5 km policzmy: 500000 cm = 500000•0,00001= 5 km
  • skala 1:1000000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 1000000 cm w rzeczywistości, czyli 10 km policzmy: 1000000 cm = 1000000•0,00001= 10 km
Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zobacz także
Udostępnij zadanie