Matematyka

Matematyka 2001 (Podręcznik, WSiP)

Znajdź wszystkie pary liczb 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`x^2-y^2=15` 
`(x-y)(x+y)=15` 

Szukamy takich dwóch liczb, których iloczyn da 15. Takie liczby to 1 i 15 oraz 15 i 1, 3 i 5 oraz 5 i 3. 



a) Rozwiązania mają być liczbami naturalnymi.  

Zapisujemy układy równań, które pozwolą nam wyznaczyć pary liczb, będące rozwiązaniami tego równania. 

`I. \ {(x-y=1),(x+y=15):}` 

`II. \ {(x-y=15),(x+y=1):}` 

`III. \ {(x-y=3),(x+y=5):}` 

`IV. \ {(x-y=5),(x+y=5):}`    


Rozwiązujemy I układ równań
`{(x-y=1),(x+y=15):}` 

`{(x=1+y),(x+y=15):}` 

`(1+y)+y=15` 
`2y+1=15 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`2y=14 \ \ \ \ \ |:2` 
`y=7` 

`{(x=1+y),(y=7):}` 

`x=1+7` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=7):}` 

Liczby 7 i 8 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy II układ równań
`{(x-y=15),(x+y=1):}` 

`{(x=15+y),(x+y=1):}` 

`(15+y)+y=1` 
`15+2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ |-15` 
`2y=-14 \ \ \ \ \ \ |:2` 
`y=-7` 

`{(x=15+y),(y=-7):}` 

`x=15+(-7)` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=-7):}` 

Liczba -7 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -7 i 8 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązujemy III układ równań.  
`{(x-y=3),(x+y=5):}` 

`{(x=3+y),(x+y=5):}` 

`(3+y)+y=5` 
`3+2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`2y=2 \ \ \ \ \ \ \|:2` 
`y=1` 

`{(x=3+y),(y=1):}` 

`x=3+1` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=1):}` 

Liczby 4 i 1 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy IV układ równań
`{(x-y=5),(x+y=3):}` 

`{(x=5+y),(x+y=3):}` 

`(5+y)+y=3` 
`5+2y=3 \ \ \ \ \ \ \ |-5` 
`2y=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`  
`y=-1` 

`{(x=5+y),(y=-1):}` 

`x=5+(-1)` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=-1):}` 

Liczba -1 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -1 i 4 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązaniem równania są pary liczb: 
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rozwiązania mają być liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że rozwiązaniami wszystkich czterech układów równań (rozwiązane w podpunkcie a) są liczby całkowite. 
Każda para rozwiązań jest więc rozwiązaniem równania. 


Rozwiązaniem równania są pary liczb:
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`

`{(x=8),(y=-7):} \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ {(x=4),(y=-1):}`  

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu
Ułamki dziesiętne i ich budowa
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zobacz także
Udostępnij zadanie