Matematyka

Znajdź wszystkie pary liczb 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`x^2-y^2=15` 
`(x-y)(x+y)=15` 

Szukamy takich dwóch liczb, których iloczyn da 15. Takie liczby to 1 i 15 oraz 15 i 1, 3 i 5 oraz 5 i 3. 



a) Rozwiązania mają być liczbami naturalnymi.  

Zapisujemy układy równań, które pozwolą nam wyznaczyć pary liczb, będące rozwiązaniami tego równania. 

`I. \ {(x-y=1),(x+y=15):}` 

`II. \ {(x-y=15),(x+y=1):}` 

`III. \ {(x-y=3),(x+y=5):}` 

`IV. \ {(x-y=5),(x+y=5):}`    


Rozwiązujemy I układ równań
`{(x-y=1),(x+y=15):}` 

`{(x=1+y),(x+y=15):}` 

`(1+y)+y=15` 
`2y+1=15 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`2y=14 \ \ \ \ \ |:2` 
`y=7` 

`{(x=1+y),(y=7):}` 

`x=1+7` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=7):}` 

Liczby 7 i 8 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy II układ równań
`{(x-y=15),(x+y=1):}` 

`{(x=15+y),(x+y=1):}` 

`(15+y)+y=1` 
`15+2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ |-15` 
`2y=-14 \ \ \ \ \ \ |:2` 
`y=-7` 

`{(x=15+y),(y=-7):}` 

`x=15+(-7)` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=-7):}` 

Liczba -7 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -7 i 8 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązujemy III układ równań.  
`{(x-y=3),(x+y=5):}` 

`{(x=3+y),(x+y=5):}` 

`(3+y)+y=5` 
`3+2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`2y=2 \ \ \ \ \ \ \|:2` 
`y=1` 

`{(x=3+y),(y=1):}` 

`x=3+1` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=1):}` 

Liczby 4 i 1 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy IV układ równań
`{(x-y=5),(x+y=3):}` 

`{(x=5+y),(x+y=3):}` 

`(5+y)+y=3` 
`5+2y=3 \ \ \ \ \ \ \ |-5` 
`2y=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`  
`y=-1` 

`{(x=5+y),(y=-1):}` 

`x=5+(-1)` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=-1):}` 

Liczba -1 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -1 i 4 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązaniem równania są pary liczb: 
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rozwiązania mają być liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że rozwiązaniami wszystkich czterech układów równań (rozwiązane w podpunkcie a) są liczby całkowite. 
Każda para rozwiązań jest więc rozwiązaniem równania. 


Rozwiązaniem równania są pary liczb:
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`

`{(x=8),(y=-7):} \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ {(x=4),(y=-1):}`  

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001
Autorzy: Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Mnożenie pisemne
  1. Czynniki zapisujemy jeden pod drugim wyrównując do prawej.

    mnozenie1
     
  2. Mnożymy cyfrę jedności drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymany wynik zapisujemy pod kreską, wyrównując do cyfry jedności. Gdy przy mnożeniu jednej z cyfr drugiego czynnika przez jedności, dziesiątki i setki drugiego czynnika wystąpi wynik większy od 9, to cyfrę jedności tego wyniku zapisujemy pod kreską, natomiast cyfrę dziesiątek przenosimy do dziesiątek lub setek i dodajemy go do wyniku następnego mnożenia.

    W naszym przykładzie:
    4•3=12 , czyli 2 wpisujemy pod cyframi jedności, a 1 przenosimy do dziesiątek, następnie: 4•1=4, ale uwzględniamy przeniesioną 1, czyli mamy 4+1=5 i 5 wpisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie mamy 4•1=4 i 4 wpisujemy pod cyframi setek.

    mnozenie2
     
  3. Mnożymy kolejną cyfrę drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymamy wynik zapisujemy pod poprzednim, wyrównując do cyfry dziesiątek.

    W naszym przykładzie:
    1•3=3 i 3 zapisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi setek, oraz 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi tysięcy.

    mnozenie3
     
  4. Po wykonaniu mnożeń, otrzymane dwa wyniki dodajemy do siebie według zasad dodawania pisemnego.

    mnozenie4
     
  5. W rezultacie wykonanych kroków otrzymujemy wynik mnożenia pisemnego. Iloczyn liczby 113 oraz 14 wynosi 1572.

Zobacz także
Udostępnij zadanie