Matematyka

Matematyka 2001 (Podręcznik, WSiP)

Znajdź wszystkie pary liczb 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`x^2-y^2=15` 
`(x-y)(x+y)=15` 

Szukamy takich dwóch liczb, których iloczyn da 15. Takie liczby to 1 i 15 oraz 15 i 1, 3 i 5 oraz 5 i 3. 



a) Rozwiązania mają być liczbami naturalnymi.  

Zapisujemy układy równań, które pozwolą nam wyznaczyć pary liczb, będące rozwiązaniami tego równania. 

`I. \ {(x-y=1),(x+y=15):}` 

`II. \ {(x-y=15),(x+y=1):}` 

`III. \ {(x-y=3),(x+y=5):}` 

`IV. \ {(x-y=5),(x+y=5):}`    


Rozwiązujemy I układ równań
`{(x-y=1),(x+y=15):}` 

`{(x=1+y),(x+y=15):}` 

`(1+y)+y=15` 
`2y+1=15 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`2y=14 \ \ \ \ \ |:2` 
`y=7` 

`{(x=1+y),(y=7):}` 

`x=1+7` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=7):}` 

Liczby 7 i 8 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy II układ równań
`{(x-y=15),(x+y=1):}` 

`{(x=15+y),(x+y=1):}` 

`(15+y)+y=1` 
`15+2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ |-15` 
`2y=-14 \ \ \ \ \ \ |:2` 
`y=-7` 

`{(x=15+y),(y=-7):}` 

`x=15+(-7)` 
`x=8` 

`{(x=8),(y=-7):}` 

Liczba -7 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -7 i 8 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązujemy III układ równań.  
`{(x-y=3),(x+y=5):}` 

`{(x=3+y),(x+y=5):}` 

`(3+y)+y=5` 
`3+2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`2y=2 \ \ \ \ \ \ \|:2` 
`y=1` 

`{(x=3+y),(y=1):}` 

`x=3+1` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=1):}` 

Liczby 4 i 1 to liczby naturalne, więc są one rozwiązaniem równania. 


Rozwiązujemy IV układ równań
`{(x-y=5),(x+y=3):}` 

`{(x=5+y),(x+y=3):}` 

`(5+y)+y=3` 
`5+2y=3 \ \ \ \ \ \ \ |-5` 
`2y=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`  
`y=-1` 

`{(x=5+y),(y=-1):}` 

`x=5+(-1)` 
`x=4` 

`{(x=4),(y=-1):}` 

Liczba -1 nie jest liczbą naturalną, więc liczby -1 i 4 nie są rozwiązaniem równania.


Rozwiązaniem równania są pary liczb: 
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rozwiązania mają być liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że rozwiązaniami wszystkich czterech układów równań (rozwiązane w podpunkcie a) są liczby całkowite. 
Każda para rozwiązań jest więc rozwiązaniem równania. 


Rozwiązaniem równania są pary liczb:
`{(x=8),(y=7):} \ \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ \ {(x=4),(y=1):}`

`{(x=8),(y=-7):} \ \ \ \ "oraz" \ \ \ \ {(x=4),(y=-1):}`  

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001
Autorzy: Dubiecka-Kruk Barbara, Dubiecka Anna, Bazyluk Anna
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Prostopadłościan

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - długości

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem.Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat
Skala i plan

Przy wykonywaniu rysunków niektórych przedmiotów lub sporządzaniu map, planów musimy zmniejszyć rzeczywiste wymiary przedmiotów, aby rysunki zmieściły się na kartce. Są też rzeczy niewidoczne dla oka, które obserwujemy za pomocą mikroskopu, wówczas rysunki przedstawiamy w powiększeniu.
W tym celu stosujemy pewną skalę. Skala określa, ile razy dany obiekt został pomniejszony lub powiększony. Rozróżniamy zatem skale zmniejszające i zwiększające.

Skala 1:2 („jeden do dwóch”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy mniejszy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy mniejsze od rzeczywistych.

Skala 2:1 („dwa do jednego”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy większy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy większe od rzeczywistych.

Skala 1:1 oznacza, że przedstawiony obiekt jest taki sam jak rzeczywisty.

Przykład:

skala
 

Prostokąt środkowy jest wykonany w skali 1:1. Mówimy, że jest naturalnej wielkości. Prostokąt po lewej stronie został narysowany w skali 1:2, czyli jego wszystkie wymiary zostały zmniejszone dwa razy. Prostokąt po prawej stronie został narysowany w skali 2:1, czyli jego wszystkie wymiary zostały zwiększone dwa razy.

 

Przykłady na odczytywanie skali:

  • skala 1:50 oznacza zmniejszenie 50 razy
  • skala 20:1 oznacza zwiększenie 20 razy
  • skala 1:8 oznacza zmniejszenie 8 razy
  • skala 5:1 oznacza zwiększenie 5 razy
 

Plan to obraz niewielkiego obszaru, terenu, przedstawiony na płaszczyźnie w skali. Plany wykonuje się np. do przedstawienia pokoju, mieszkania, domu, rozkładu ulic w osiedlu lub mieście.

Mapa to podobnie jak plan obraz obszaru, tylko większego, przedstawiony na płaszczyźnie w skali (mapa musi uwzględniać deformację kuli ziemskiej). Mapy to rysunki terenu, kraju, kontynentu.

Skala mapy
Na mapach używa się skali pomniejszonej np. 1:1000000. Oznacza to, że 1 cm na mapie oznacza 1000000 cm w rzeczywistości (w terenie).

Przykłady na odczytywanie skali mapy
  • skala 1:500000 oznacza, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości
  • skala 1:2000 oznacza, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości
Zobacz także
Udostępnij zadanie