$a)$

Podstawą graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego jest pięciokąt foremny, zatem podstawa tego graniastosłupa ma 5 jednakowych krawędzi. Graniastosłup ma jednak 2 podstawy, więc razem mają one 10 jednakowych krawędzi podstawy. 

Wysokość graniastosłupa to jego krawędź boczna, ten graniastosłup ma 5 takich krawędzi. Każda z nich jest o 4 cm dłuższa od krawędzi podstawy, więc gdybyśmy każdą z tych 5 krawędzi bocznych skrócili o 4 cm, to krawędź boczna i krawędź podstawy byłyby równe, a graniastosłup miałby 15 jednakowych krawędzi (10 krawędzi podstawy+5 krawędzi bocznych). Suma ich długości wynosiłaby wtedy: 

$110cm-5\cdot 4cm=110cm-20cm=90cm$

 

Czyli każda krawędź miałaby wtedy długość: 

$90cm:15=6cm$

 

Ale wiemy, że krawędź boczna (wysokość) jest o 4 cm dłuższa, ma więc:

$6cm+4cm=10cm$

 

ODP. Długość krawędzi podstawy jest równa 6 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm. 

 

 

$b)$

Podstawą graniastosłupa prawidłowego dwunastokątnego jest dwunastokąt foremny, zatem podstawa tego graniastosłupa ma 12 jednakowych krawędzi. Graniastosłup ma jednak 2 podstawy, więc razem mają one 24 jednakowe krawędzie podstawy. 

 

Wysokość graniastosłupa to jego krawędź boczna, ten graniastosłup ma 12 takich krawędzi. Każda z nich jest o 3 cm krótsza od krawędzi podstawy, więc gdybyśmy każdą z tych 12 krawędzi bocznych wydłużyli o 3 cm, to krawędź boczna i krawędź podstawy byłyby równe, a graniastosłup miałby 36 jednakowych krawędzi (24 krawędzie podstawy+12 krawędzi bocznych). Suma ich długości wynosiłaby wtedy: 

$252cm+12\cdot 3cm=252cm+36cm=288cm$

 

Czyli każda z 36 krawędzi miałaby wtedy długość:

$288cm:36=8cm$

 

Ale wiemy, że krawędź boczna (wysokość) jest o 3 cm krótsza, ma więc: 

$8cm-3cm=5cm$

 

ODP. Długość krawędzi podstawy jest równa 8 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm. 

 

 

 

$c)$

Podstawą graniastosłupa prawidłowego dwudziestopięciokątnego jest dwudziestopięciokąt foremny, więc podstawa tego graniastosłupa ma 25 jednakowych krawędzi. Graniastosłup ma jednak 2 podstawy, więc razem mają one 50 jednakowych krawędzi podstawy. 

Krawędź podstawy jest 3 razy krótsza od wysokości, więc wysokość ma tyle, co 3 krawędzie podstawy. Ten graniastosłup ma 25 wysokości, każda z nich jest jak 3 krawędzie podstawy, więc razem są jak 75 krawędzi podstawy. 

Wszystkie krawędzie tego graniastosłupa mają razem taką długość, jak 50+75=125 krawędzi podstawy. 

Wiemy, że łączna ich długość wynosi 750 cm, czyli krawędź podstawy ma długość: 

$750cm:125=6cm$

 

Wysokość jest 3 razy dłuższa, czyli ma:

$3\cdot 6cm=18cm$

 

ODP. Długość krawędzi podstawy jest równa 6 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 18 cm.