Matematyka

Naszkicuj wykres wielomianu ... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Naszkicuj wykres wielomianu ...

1
 Zadanie

`"a)"\ w(x)=(x-3)(x-1)(x+2)` 

`(x-3)(x-1)(x+2)=0` 

`x-3=0\ \ vv\ \ \ x-1=0\ \ vv\ \ \ x+2=0` 

`\ \ x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-2` 

Pierwiastki tego wielomianu to 3, 1 oraz -2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość dodatnia, więc wykres zaczynamy rysować od wartości dodatnich (od prawej strony).

W każdym pierwiastku zmieniamy znak, ponieważ pierwiastki są jednokrotne. 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ w(x)=x(x+3)^2` 

`x(x+3)^2=0` 

`x=0\ \ \ vv\ \ \ \ (x+3)^2=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-3`  

Pierwiastki tego wielomianu to -3 oraz 0. 

0 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość dodatnia, więc wykres zaczynamy rysować od wartości dodatnich (od prawej strony).

Znak zmieniamy przy pierwiastku 0, gdyż jest jednokrotny.

Przy pierwiastku -3 nie zmieniamy znaku, gdyż jest dwukrotny (parzysta krotność).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ w(x)=x^2(x-1)` 

`x^2(x-1)=0` 

`x=0\ \ vv\ \ \ x-1=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1` 

Pierwiastki tego wielomianu to 0 oraz 1. 

0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość dodatnia, więc wykres zaczynamy rysować od wartości dodatnich (od prawej strony).

Znak zmieniamy przy pierwiastku 1, gdyż jest jednokrotny.

Przy pierwiastku 0 nie zmieniamy znaku, gdyż jest dwukrotny.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ w(x)=-x(x^2+2x+1)` 

`-x(x^2+2x+1)=0` 

`-x=0\ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ x^2+2x+1=0`   

`\ \ x=0` 

Obliczmy pierwiastki równania kwadratowego:

`x^2+2x+1=0` 

`Delta=4-4=0` 

`x=-2/2=-1` 

Równanie kwadratowe możemy zapisać w postaci:

`x^2+2x+1=(x+1)^2 `

Zapiszmy równanie początkowe:

`-x(x+1)^2=0` 

`x=0\ \ \ vv\ \ \ x=-1`   

Pierwiastki tego wielomianu to 0 oraz -1. 

0 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość ujemna, więc wykres zaczynamy rysować od wartości ujemnych (od prawej strony).

Znak zmieniamy przy pierwiastku 0, gdyż jest jednokrotny.

Przy pierwiastku -1 nie zmieniamy znaku, gdyż jest dwukrotny.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ w(x)=(1-x)(x^2+4x-5)`  

`(1-x)(x^2+4x-5)=0`  

Obliczmy pierwiastki równania kwadratowego:

`x^2+4x-5=0` 

`Delta=16+20=36` 

`sqrtDelta=sqrt36=6`   

` <br> ` `x_1=(-4-6)/2=-5` 

`x_2=(-4+6)/2=1` 

Równanie kwadratowe możemy zapisać w postaci:

`x^2+4x-5=(x+5)(x-1) `  

Zapiszmy równanie początkowe:

`(1-x)(x+5)(x-1)=0` 

Wyłączmy -1 z czynników z pierwszego nawiasu.

`-(x-1)(x+5)(x-1)=0` 

`-(x-1)^2(x+5)=0` 

`\ \ x=1\ \ \ vv\ \ \ x=-5`   

Pierwiastki tego wielomianu to 1 oraz -5. 

1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a -5 jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość ujemna, więc wykres zaczynamy rysować od wartości ujemnych (od prawej strony).

Znak zmieniamy przy pierwiastku -5, gdyż jest jednokrotny.

Przy pierwiastku 1 nie zmieniamy znaku, gdyż jest dwukrotny.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ w(x)=(2-x)(x^2+6x+9)`  

`(2-x)(x^2+6x+9)=0`  

Obliczmy pierwiastki równania kwadratowego:

`x^2+6x+9=0` 

`Delta=36-36=0` 

`x=-6/2=-3` 

Równanie kwadratowe możemy zapisać w postaci:

`x^2+6x+9=(x+3)^2 `  

Zapiszmy równanie początkowe:

`(2-x)(x+3)^2=0` 

Wyłączmy -1 z czynników z pierwszego nawiasu.

`-(x-2)(x+3)^2=0` 

`\ \ x=2\ \ \ vv\ \ \ x=-3`   

Pierwiastki tego wielomianu to 2 oraz -3. 

2 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a -3 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Przy najwyższej potędze x znajduje się wartość ujemna, więc wykres zaczynamy rysować od wartości ujemnych (od prawej strony).

Znak zmieniamy przy pierwiastku 2, gdyż jest jednokrotny.

Przy pierwiastku -3 nie zmieniamy znaku, gdyż jest dwukrotny.

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-09-22
dzieki!
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Dodawanie pisemne

Krok po kroku jak wykonywać dodawanie pisemne:

  1. Składniki zapisujemy jeden pod drugim tak, by cyfry jedności tworzyły jedną kolumnę, cyfry dziesiątek – drugą, cyfry setek – trzecią, itd. (czyli cyfry liczb wyrównujemy do prawej strony), a następnie oddzielamy je poziomą kreską.

    dodawanie1
     
  2. Dodawanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw dodajemy jedności, czyli ostatnie cyfry w dodawanych liczbach – w naszym przykładzie będzie to 9 i 3. Jeżeli uzyskana suma jest większa od 9, to w kolumnie jedności pod kreską piszemy cyfrę jedności tej sumy, a pozostałą cyfrę sumy przenosimy do kolumny dziesiątek.
    W naszym przykładzie mamy $$9 + 3 = 12$$, czyli w kolumnie jedności piszemy 2, a 1 przenosimy do kolumny dziesiątek.

    dodawanie2
     
  3. Następnie dodajemy dziesiątki naszych liczb wraz z cyfrą przeniesioną i postępujemy jak poprzednio, czyli jeśli uzyskana suma jest większa od 9, to w kolumnie dziesiątek piszemy cyfrę jedności tej sumy, a pozostałą cyfrę sumy przenosimy do kolumny setek.
    W naszym przykładzie otrzymamy: $$1 + 5 + 6 = 12$$, czyli w kolumnie dziesiątek piszemy 2, a 1 przenosimy do kolumny setek.

    dodawanie3
     
  4. Dodajemy cyfry setek wraz z cyfrą przeniesioną i wynik zapisujemy pod kreską.
    W naszym przykładzie mamy: $$1+2+1=4$$ i wynik ten wpisujemy pod cyframi setek.

    dodawanie4
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik dodawania pisemnego.
    W naszym przykładzie sumą liczb 259 i 163 jest liczba 422.

Zobacz także
Udostępnij zadanie