Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Rysunek pomocniczy:

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, zatem:

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle AOB\right|$  

$\left|\sphericalangle ADB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle AOB\right|$  

$\left|\sphericalangle AEB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle AOB\right|$  

Z powyższego możemy zapisać:

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\left|\sphericalangle ADB\right|=\left|\sphericalangle AEB\right|$  

Co należało pokazać.

---

Kąt wpisany w okrąg oparty na półokręgu (na średnicy) jest kątem prostym.

 

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, zatem kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę:

$\frac{1}{2}\cdot {180}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Zatem szukany kąt wpisany ma miarę 90^o, czyli jest to kąt prosty. Co należało pokazać.

---

Suma miar kątów α i β wpisanych w okrąg, jak na rysunku powyżej, jest równa 180^o.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$2\alpha +2\beta ={360}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

Co należało pokazać.