a)

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również- jak oznaczono na rysunku- o długości promienia. 

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60^o, dlatego:

$\alpha ={60}^o$

$\beta ={60}^o$

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ß, ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

$\gamma ={60}^o:2={30}^o$

b)

I sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

$\alpha ={60}^o$

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach - γ i ß- są równe.

$\gamma =\beta$

Trzeci kąt tego trójkąta równoramiennego- oznaczmy jako δ- jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany α, zatem ma miarę dwa razy większą niż α.

$\delta ={60}^o\cdot 2={120}^o$

Teraz korzystamy z sumy miar kątów w trójkącie, która wynosi zawsze 180^o. Sumujemy kąt δ, gamma, ß.

$\delta +\gamma +\beta ={180}^o$

Wstawiamy gamma=ß i delta=60^o

${120}^o+\beta +\beta ={180}^o$

${120}^o+2\beta ={180}^o$

$2\beta ={180}^o-{120}^o$

$2\beta ={60}^o$

$\beta ={30}^o$

II sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

$\alpha ={60}^o$

Trójkąt o kątach wewnętrznych α i ß to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu). Kąt który w sumie z kątem γ buduje kąt prosty jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, zatem

${90}^o={60}^o+\gamma$

${90}^o-{60}^o=\gamma$

$\gamma ={30}^o$

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co zatym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -zatem γ i ß- są równe.

$\gamma =\beta$

c)

 

Czworokąt o kącie wewnętrznym α jest rombem, ponieważ wszystkiego jego boki są długości r. Naprzeciwległe kąty rombu mają równe miary, zatem oznaczamy ten kąt również jako α.

Po dorysowaniu promienia w jednym miejscu zauważamy, że romb ten można podzielić na dwa trójkąty równoboczne, zatem kąt α budują dwa kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego- kąty o mierze 60^o.

$\alpha =2\cdot {60}^o={120}^o$

Obliczamy teraz kąt ß korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360^o.

$\alpha +\beta ={360}^o$

${120}^o+\beta ={360}^o$

$\beta ={360}^o-{120}^o$

$\beta ={240}^o$

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α.

$\gamma ={120}^o:2={60}^o$