a)

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również- jak oznaczono na rysunku- o długości promienia.

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60^o, dlatego:

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ß, ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

b)

I sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach - γ i ß- są równe.

Trzeci kąt tego trójkąta równoramiennego- oznaczmy jako δ- jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany α, zatem ma miarę dwa razy większą niż α.

Teraz korzystamy z sumy miar kątów w trójkącie, która wynosi zawsze 180^o. Sumujemy kąt δ, gamma, ß.

Wstawiamy gamma=ß i delta=60^o

II sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

Trójkąt o kątach wewnętrznych α i ß to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu). Kąt który w sumie z kątem γ buduje kąt prosty jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, zatem

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co zatym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -zatem γ i ß- są równe.

c)

Czworokąt o kącie wewnętrznym α jest rombem, ponieważ wszystkiego jego boki są długości r. Naprzeciwległe kąty rombu mają równe miary, zatem oznaczamy ten kąt również jako α.

Po dorysowaniu promienia w jednym miejscu zauważamy, że romb ten można podzielić na dwa trójkąty równoboczne, zatem kąt α budują dwa kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego- kąty o mierze 60^o.

Obliczamy teraz kąt ß korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360^o.

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α.