$a)f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$  

• Dziedzina:

$D_f=R\backslash \left\{-2,2\right\}$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=\frac{0}{0-4}=0$  

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2-3x}{x^2-4}=0$  

$x^2-3x=0$

$x\left(x-3\right)=0$   

$x_1=0\vee x_2=3$  

 

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:

$0,3$  

 

• Obliczamy asymptoty funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1}\right]}{=}1$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1-\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1}\right]}{=}1$  

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

$y=1$  

 

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{10}{-4\cdot 0^{-}}\right]}{=}\infty$   

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{10}{-4\cdot 0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

 

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-2}{0^{-}\cdot 4}\right]}{=}\infty$   

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{-2}{0^{+}\cdot 4}\right]}{=}-\infty$  

 

Funkcja ma asymptotę poziomą obustronną daną równaniem:

$y=1$  

oraz asymptoty pionowe obustronne dane równaniami:

$x=-2$  

$x=2$  

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(\frac{x^2-3x}{x^2-4}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{{\left(x^2-3x\right)}^{{}^{\prime }}\cdot \left(x^2-4\right)-\left(x^2-3x\right)\cdot {\left(x^2-4\right)}^{{}^{\prime }}}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{\left(2x-3\right)\cdot \left(x^2-4\right)-\left(x^2-3x\right)\left(2x\right)}{{\left(x^2-4\right)}^2}=$  

$\frac{2x^3-8x-3x^2+12-2x^3+6x^2}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{3x^2-8x+12}{{\left(x^2-4\right)}^2}$  

 

$D=R\backslash \left\{-2,2\right\}$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\iff \frac{3x^2-8x+12}{{\left(x^2-4\right)}^2}=0\iff 3x^2-8x+12=0$  

Obliczmy wyróżnik funkcji:

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 3\cdot 12=64-144<0$  

A więc nie ma punktu w którym pochodna się zeruje zatem nie funkcji f nie ma ekstremum.

 

Parabola jest skierowana ramionami ku górze oraz nie ma miejsc zerowych, zatem znak pochodnej jest dodatni. A więc funkcja jest przedziałami rosnąca.

 

$b)f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$  

• Dziedzina:

$D_f=R\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

• Punkty przecięcia z osiami:

$f\left(0\right)=\frac{0^2+1}{\left(0-1\right)\left(0+1\right)}=\frac{1}{-1}=-1$  

Funkcja przechodzi przez punkt (0,-1)

 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

 

 

 

• Obliczamy asymptoty funkcji f:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1}\right]}{=}1$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}\stackrel{\left[\frac{1}{1}\right]}{=}1$  

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

$y=1$  

 

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\stackrel{\frac{1+1}{-2\cdot 0^{-}}}{=}\infty$   

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\stackrel{\frac{1+1}{-2\cdot 0^{+}}}{=}-\infty$  

 

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\stackrel{\frac{1+1}{0^{-}\cdot 2}}{=}-\infty$   

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\stackrel{\frac{1+1}{0^{+}\cdot 2}}{=}\infty$  

 

Funkcja ma asymptoty pionowe obustronne dane równaniami:

$x=-1$  

$x=1$

 

• Pochodna funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{{}^{\prime }}\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right){\left(x^2-1\right)}^{{}^{\prime }}}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{2x\left(x^2-1\right)-2x\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{2x^3-2x-2x^3-2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

$D=R\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Ekstrema i monotoniczność:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\iff \frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0\iff -4x=0\iff x=0$  

Na lewo od punktu 0 pochodna ma znak dodatni, na prawo znak ujemny a więc jest to maksimum.

 

$f\left(0\right)=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$  

 

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	(-1,0)	$0$	$\left(0,1\right)$	(1,oo)
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	+	$+$	$0$	$-$	$-$
$f\left(x\right)$	rosnąca	rosnąca	maksimum	malejąca	malejąca