$a_n$   - nieskończony ciąg geometryczny

 

$\text{a)}$  

$S_n=9$  

$\frac{a_1}{1-q}=9$  

$a_1=9\left(1-q\right)$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$a_2+a_4+a_6+\dots =\frac{9}{4}$  

$a_{1}q+a_1{q}^3+a_1{q}^5+\dots =\frac{9}{4}$  

$a_{1}q\left(1+q^2+q^4+\dots \right)=\frac{9}{4}$  

Zauważmy, że  $1+q^2+q^4+\dots$   to suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $1$  i ilorazie $q^2,$  zatem możemy zapisać jako  $\frac{1}{1-q^2}$  

Zatem mamy:

$a_{1}q\cdot \frac{1}{1-q^2}=\frac{9}{4}$  

$\frac{a_{1}q}{1-q^2}=\frac{9}{4}$  

$\frac{9\left(1-q\right)q}{\left(1-q\right)\left(1+q\right)}=\frac{9}{4}$  

$\frac{9q}{1+q}=\frac{9}{4}$  

$36q=9+9q$  

$27q=9\mid :27$  

$q=\frac{1}{3}$  

Zatem:

$a_1=9\left(1-\frac{1}{3}\right)$  

$a_1=9\cdot \frac{2}{3}$  

$a_1=6$  

---

$\text{b)}$  

$S_n=6$  

$\frac{a_1}{1-q}=6$  

$a_1=6\left(1-q\right)$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$a_1+a_3+a_5+\dots =12$   

$a_1+a_1{q}^2+a_1{q}^4+\dots =12$  

$a_1\left(1+q^2+q^4+\dots \right)=12$  

$a_1\cdot \frac{1}{1-q^2}=12$  

$\frac{6\left(1-q\right)}{\left(1-q\right)\left(1+q\right)}=12$  

$\frac{6}{1+q}=12$  

$6=12+12q$  

$-6=12q\mid :12$  

$-\frac{1}{2}=q$  

Zatem:

$a_1=6\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$  

$a_1=6\cdot \frac{3}{2}$  

$a_1=9$