Dane są ciągi ...- Zadanie Ćwiczenie 2: MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a_{n} = n^{2}$

$b_{n} = \frac{12}{n}$

$a)$

$c_{n} = a_{n} + b_{n} = n^{2} + \frac{12}{n}$

Zapiszmy cztery początkowe wyrazy tego ciągu:

$c_{1} = 1 + 12 = 13$

$c_{2} = 4 + 6 = 10$

$c_{3} = 9 + 4 = 13$

$c_{4} = 16 + \frac{12}{4} = 16 + 3 = 19$

Zauważmy, że

$c_{1} > c_{2} i c_{2} < c_{3}$

czyli ten ciąg nie jest monotoniczny.

$b)$

$c_{n} = a_{n} - b_{n} = n^{2} - \frac{12}{n}$

Zapiszmy cztery początkowe wyrazy tego ciągu:

$c_{1} = 1 - 12 = - 11$

$c_{2} = 4 - 6 = - 2$

$c_{3} = 9 - 4 = 5$

$c_{4} = 16 - 3 = 13$

Zbadajmy znak różnicy c_n+1 - c_n.

Otrzymujemy:

$c_{n + 1} - c_{n} = (n + 1)^{2} - \frac{12}{n + 1} - n^{2} + \frac{12}{n} =$

$= 2 n + 1 - \frac{12}{n + 1} + \frac{12}{n} = \frac{( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) - 12 n + 12 ( n + 1 )}{n ( n + 1 )} =$

$= \frac{2 n ^{3} + 2 n ^{2} + n ^{2} + n - 12 n + 12 n + 12}{n ( n + 1 )} = \frac{2 n ^{3} + 3 n ^{2} + n + 12}{n ( n + 1 )} > 0$

Zauważmy, że licznik i mianownik otrzymanego ułamka, są liczbami dodatnimi.

Iloraz liczb dodatnich jest dodatni.

Zatem dla każdego n zachodzi

$c_{n + 1} - c_{n} > 0 \Rightarrow c_{n + 1} > c_{n}$

czyli ten ciąg jest monotoniczny (jest rosnący).

$c)$

$c_{n} = a_{n} \cdot b_{n} = n^{2} \cdot \frac{12}{n} = 12 n$

Zapiszmy cztery początkowe wyrazy tego ciągu:

$c_{1} = 12$

$c_{2} = 24$

$c_{3} = 36$

$c_{4} = 48$

Zbadajmy znak różnicy c_n+1 - c_n.

Otrzymujemy:

$c_{n + 1} - c_{n} = 12 (n + 1) - 12 n = 12 n + 12 - 12 n = 12 > 0$

Zatem dla każdego n zachodzi

$c_{n + 1} - c_{n} > 0 \Rightarrow c_{n + 1} > c_{n}$

czyli ten ciąg jest monotoniczny (jest rosnący).

$d)$

$c_{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}} = n^{2} \cdot \frac{n}{12} = \frac{n ^{3}}{12}$

Zapiszmy cztery początkowe wyrazy tego ciągu:

$c_{1} = \frac{1}{12}$

$c_{2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$c_{3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

$c_{4} = \frac{64}{12} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Zbadajmy znak różnicy c_n+1 - c_n.

Otrzymujemy:

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{( n + 1 ) ^{3}}{12} - \frac{n ^{3}}{12} = \frac{n ^{3} + 3 n ^{2} + 3 n + 1}{12} - \frac{n ^{3}}{12} = \frac{3 n ^{2} + 3 n + 1}{12} > 0$

Zauważmy, że licznik i mianownik otrzymanego ułamka, są liczbami dodatnimi.

Iloraz liczb dodatnich jest dodatni.

Zatem dla każdego n zachodzi

$c_{n + 1} - c_{n} > 0 \Rightarrow c_{n + 1} > c_{n}$

czyli ten ciąg jest monotoniczny (jest rosnący).

Krystian

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.