$a)$  

$\alpha \in \left({90}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$  

$\beta \in \left({180}^{\circ };{270}^{\circ }\right)$  

Załóżmy dla tego i dalszych podpunktów, że:

$P_1=\left(x_1;x_2\right)-$   pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta alfa

$P_2=\left(x_2;y_2\right)-$   pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta beta

  

$\sin \alpha \stackrel{?}{>}\mathrm{tg}\beta$      

$\sin \alpha =\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$     

$\mathrm{tg}\beta =\frac{y_2}{x_2}$  

Weźmy przykładowe wartości spełniające założenia zadania:

$\mathrm{tg}\beta =-\frac{3}{-1}=3>1$  

$\max \left\{\sin \alpha :\alpha -\text{dowolny kąt}\right\}\le 1$   

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

$b)$  

$\sin \alpha +\cos \beta <0$   

`sinalpha   

`y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)   

$x_1,x_2,y_2<0$

  

$y_1>0$    

Zauważmy, że dla następujących wartości nierówność nie jest zachowana.

$\left(x_1;y_1\right)=\left(-1;2\right)$    

$\left(x_2;y_2\right)=\left(-1;-2\right)$   

`y_1/sqrt(1^2+4^2)    

`y_1  

$2<1$

    

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

$c)$  

$\mathrm{tg}\alpha +\frac{\mathrm{ctg}\beta }{2}<0$  

`tgalpha  

Oznaczmy:

$\gamma =\frac{\beta }{2}$

 

$\gamma \in \left({90}^{\circ };{135}^{\circ }\right)$     

$P_3=\left(x_3;y_3\right)-$   pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta gamma

 

`tgalpha    

`y_1/x_1  

$x_1,x_3<0$

 

$y_1,y_3>0$  

 

 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze ujemna a prawa zawsze dodatnia.

Nierówność jest prawdziwa.

 

$d)$     

$\mathrm{tg}\beta <\mathrm{tg}\alpha$  

$\frac{y_2}{x_2}<\frac{y_1}{x_1}$    

$x_1,y_2,x_2<0$  

$y_1>0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia a prawa zawsze ujemna.

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.