Wykaż, że pole trójkąta, którego dwa kąty...- Zadanie 50: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z twierdzenia o odcinkach stycznych:

$∣ A D ∣ = ∣ A F ∣, ∣ B D ∣ = ∣ B E ∣, ∣ C E ∣ = ∣ C F ∣$

Z sumy kątów dla trójkąta ABC:

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$γ = 180^{\circ} - (α + β) ∣ \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{γ}{2} = 90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADO:

$\frac{r}{x} = tg \frac{α}{2}$

$x = \frac{r}{tg \frac{α}{2}}$

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta BEO:

$\frac{r}{y} = tg \frac{β}{2}$

$y = \frac{r}{tg \frac{β}{2}}$

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta CFO:

$\frac{r}{z} = tg \frac{γ}{2}$

$z = \frac{r}{tg \frac{γ}{2}}$

$z = \frac{r}{tg ( 90 ^{\circ} - \frac{α + β}{2} )}$

$z = \frac{r}{ctg \frac{α + β}{2}}$

$z = r \cdot tg \frac{α + β}{2}$

Pole trójkąta ABC obliczamy jako sumę pól trójkątów ADO, AFO, BDO, BEO, CEO, CFO:

$P = 2 P_{ADO} + 2 P_{BEO} + 2 P_{CFO} =$

$= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} r y + 2 \cdot \frac{1}{2} r z =$

$= r x + r y + r z = r (x + y + z) =$

$= r (\frac{r}{tg \frac{α}{2}} + \frac{r}{tg \frac{β}{2}} + r \cdot tg \frac{α + β}{2}) =$

$= r^{2} \cdot (\frac{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} + tg \frac{α + β}{2}) = \dots$

Uwaga: W dalszej części rozwiązania będziemy korzystać ze wzoru na tangens sumy kątów:

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$

Wykorzystanie go jest konieczne do przekształcenia otrzymanego wzoru do żądanej postaci.

Ze wzoru na tangens sumy kątów mamy:

$tg \frac{α + β}{2} = tg (\frac{α}{2} + \frac{β}{2}) = \frac{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}}{1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}$

Zatem:

$\dots = r^{2} \cdot (\frac{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} + \frac{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}}{1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}) =$

$= r^{2} \cdot (tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}) \cdot (\frac{1}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} + \frac{1}{1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}) =$

$= r^{2} \cdot (tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}) \cdot \frac{1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}{( 1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} ) ( tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} )} + \frac{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}{( 1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} ) ( tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} )} =$

$= r^{2} \cdot (tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}) \cdot \frac{1}{( 1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} ) ( tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} )} =$

$= r^{2} \cdot tg \frac{α + β}{2} \frac{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}}{1 - tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} \cdot \frac{1}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} = \dots$

Ponownie korzystamy ze wzoru na tangens sumy dwóch kątów.

$\dots = r^{2} \cdot tg \frac{α + β}{2} \cdot \frac{1}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}} =$

$= r^{2} \cdot \frac{tg \frac{α + β}{2}}{tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2}}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.