Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$a=4\sqrt{2}$  

$R=b$   

Zauważmy, że  $a$  ma długość przekątnej kwadratu o boku  $y,$  stąd:

$y=4$   

Trójkąt  $\Delta ABP$  jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, stąd:

$\alpha ={45}^{\circ }$   

Obliczamy  $d,$  stosując twierdzenie sinusów dla  $\Delta ABD:$   

$\frac{d}{\sin \alpha }=2R\text{/}\cdot \sin \alpha$  

$d=2R\sin \alpha$  

$d=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$d=R\sqrt{2}$   

$d=b\sqrt{2}$  

Zauważmy, że trójkąt  $\Delta AED$  jest równoramienny, stąd  $\left|AE\right|=\left|ED\right|$  i wysokość trapezu możemy obliczyć

następująco:

$h=\frac{a-b}{2}$     

$h=\frac{4\sqrt{2}-b}{2}$   

Natomiast odcinek  $EB$  ma długość:

$\left|EB\right|=\frac{a+b}{2}$  

$\left|EB\right|=\frac{4\sqrt{2}+b}{2}$   

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta EBD$  i wyznaczamy  $b:$  

$h^2+{\left|EB\right|}^2=d^2$      

$\frac{{\left(4\sqrt{2}-b\right)}^2}{4}+\frac{{\left(4\sqrt{2}+b\right)}^2}{4}=2b^2\text{/}\cdot 4$  

$32-8\sqrt{2}b+b^2+32+8\sqrt{2}b+b^2=8b^2$  

$6b^2=64\text{/}:6$  

$b^2=\frac{32}{3}$  

$b=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$  

$R=\frac{4\sqrt{6}}{3}$  

Odp. Promień okręgu opisanego na trapezie ma długość  $\frac{4\sqrt{6}}{3}.$