Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że ponieważ trapez jest równoramienny, to środek okręgu wpisanego w ten trapez leży w punkcie

przecięcia dwusiecznych kątów trapezu. Stąd:

$\left|AN\right|=\left|AK\right|=\left|KB\right|=\left|BL\right|$  

$\left|ND\right|=\left|DM\right|=\left|MC\right|=\left|CL\right|$  

W takim razie dłuższa podstawa trapezu ma długość:

$a=3x+3x=6x,$   

a krótsza:

$b=2x+2x=4x$  

Obliczamy długość odcinka  $y=\left|AE\right|:$   

$y=\frac{a-b}{2}$  

$y=\frac{6x-4x}{2}=\frac{2x}{2}=x$  

Zauważmy, że  $h=2r.$  

W takim razie, możemy zapisać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $AED$  i wyznaczyć długość iksa w zależności

od promienia okręgu, którego długość znamy.   

$y^2+h^2={\left(5x\right)}^2$  

$x^2+{\left(2r\right)}^2=25x^2$  

$4r^2=24x^2\text{/}:24$  

$\frac{1}{6}{r}^2=x^2$  

$x=\frac{r}{\sqrt{6}}=\frac{r\sqrt{6}}{6}$  

Obliczamy długość ramienia trapezu:

$5x=5\cdot \frac{r\sqrt{6}}{5}=\frac{5\sqrt{6}}{6}r$   

Obliczamy cosinus kąta  $\beta :$    

$\cos \beta =\frac{y}{5x}=\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}$  

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta  $\Delta ABD$  wyznaczamy długość przekątnej trapezu:

$p^2={\left(5x\right)}^2+{\left(6x\right)}^2-2\cdot 5x\cdot 6x\cdot \cos \beta$   

$p^2=25x^2+36x^2-60x^2\cdot \frac{1}{5}$  

$p^2=61x^2-12x^2$  

$p^2=49x^2$  

$p=7x$  

Ponownie korzystamy z twierdzenia cosinusów i wyznaczamy cosinus kąta między przekątną a ramieniem trapezu:

${\left(6x\right)}^2={\left(5x\right)}^2+p^2-2\cdot 5x\cdot p\cos \alpha$  

$36x^2=25x^2+{\left(7x\right)}^2-10x\cdot 7x\cos \alpha$  

$36x^2=25x^2+49x^2-70x^2\cos \alpha$  

$36x^2-74x^2=-70x^2\cos \alpha$    

$-38x^2=-70x^2\cos \alpha \text{/}:\left(-70x^2\right)$   

$\cos \alpha =\frac{38}{70}=\frac{19}{35}$   

Odp. Ramię trapezu ma długość  $\frac{5\sqrt{6}}{6}r,$  a cosinus kąta między przekątną a ramieniem wynosi  $\frac{19}{35}.$