Rysunek pomocniczy:

Przypomnijmy twierdzenie sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

 

$\text{a)}a=4,b=8,\alpha ={30}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}$  

$\sin \beta =\frac{8\cdot \sin {30}^{\circ }}{4}=2\cdot \frac{1}{2}=1$   

$\beta ={90}^{\circ }$          

Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość boku  $c:$  

$a^2+c^2=b^2$   

$4^2+c^2=8^2$  

$c^2=64-16$  

$c^2=48$  

$c=4\sqrt{3}$  

Obliczamy miarę kąta  $\gamma :$  

$\alpha +\gamma ={90}^{\circ }$    

${30}^{\circ }+\gamma ={90}^{\circ }$  

$\gamma ={60}^{\circ }$  

Odp.  $c=4\sqrt{3},\beta ={90}^{\circ },\gamma ={60}^{\circ }.$  

 

$\text{b)}a=6,b=7,\beta ={60}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\alpha :$  

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\sin \alpha =\frac{a\sin \beta }{b}$  

$\sin \alpha =\frac{6\sin {60}^{\circ }}{7}=\frac{6}{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{7}\approx 0,7423$        

Odczytujemy z tablic miarę kąta  $\alpha :$  

$\alpha \approx {48}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\gamma :$     

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${48}^{\circ }+{60}^{\circ }+\gamma ={180}^{\circ }$  

$\gamma ={180}^{\circ }-{108}^{\circ }$  

$\gamma ={72}^{\circ }$  

Obliczamy długość boku  $c:$       

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }\text{/}\cdot \sin \gamma$  

$c=\frac{b\sin \gamma }{\sin \beta }$  

$c=\frac{7\cdot \sin {72}^{\circ }}{\sin {60}^{\circ }}\approx \frac{7\cdot 0,9511}{0,8660}\approx 7,7$    

Odp.  $c=7,7,\alpha ={48}^{\circ },\gamma ={72}^{\circ }.$  

 

$\text{c)}b=12,c=10,\gamma ={45}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\sin \beta =\frac{b\sin \gamma }{c}$  

$\sin \beta =\frac{12\cdot \sin {45}^{\circ }}{10}=\frac{6}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{5}\approx 0,8485$   

Odczytujemy z tablic miarę kąta  $\beta :$  

$\beta \approx {58}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\alpha :$  

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{58}^{\circ }+{45}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha ={180}^{\circ }-{103}^{\circ }$  

$\alpha ={77}^{\circ }$  

Obliczamy długość boku  $a:$          

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\text{/}\cdot \sin \alpha$  

$a=\frac{b\sin \alpha }{\sin \beta }$  

$a=\frac{12\cdot \sin {77}^{\circ }}{\sin {58}^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,9744}{0,8480}\approx 13,8$    

Odp.  $a=13,8,\alpha ={77}^{\circ },\beta ={58}^{\circ }.$  

 

$\text{d)}a=6,c=9,\gamma ={140}^{\circ }$  

Obliczamy sinus kąta  $\gamma :$  

$\sin \gamma =\sin {140}^{\circ }=\sin \left({180}^{\circ }-{40}^{\circ }\right)=\sin {40}^{\circ }\approx 0,6428$        

Obliczamy miarę kąta  $\alpha :$  

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\sin \alpha =\frac{a\sin \gamma }{c}$  

$\sin \alpha \approx \frac{6\cdot 0,6428}{9}\approx 0,4285$     

Odczytujemy z tablic miarę kąta  $\alpha :$  

$\alpha \approx {25}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${25}^{\circ }+\beta +{140}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\beta ={15}^{\circ }$  

Obliczamy długość boku  $b:$         

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }\text{/}\cdot \sin \beta$  

$b=\frac{c\sin \beta }{\sin \gamma }$  

$b=\frac{9\cdot 0,2588}{0,6428}\approx 3,6$    

Odp.  $b=3,6,\alpha ={25}^{\circ },\beta ={15}^{\circ }.$