Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$\left|AE\right|=4,5$  

$\left|EB\right|=9$  

$h=2r=6$  

Stąd:

$r=3$  

$a=4,5+9=13,5$  

Pole zamalowanej figury będziemy chcieli obliczyć jako różnicę pola trapezu i pola koła.

Do obliczenia pola trapezu potrzebujemy znać jeszcze długość jego drugiej podstawy.

 

Zauważmy, że odcinki  $AO,BO,CO,DO$  są dwusiecznymi kątów trapezu. Stąd: 

$\left|AH\right|=\left|AE\right|=4,5$  

$\left|BF\right|=\left|EB\right|=9$  

$\left|HD\right|=\left|DG\right|$  

$\left|FC\right|=\left|GC\right|$  

 

Zauważmy, że trójkąty  $\Delta AOD$  i  $\Delta BOC$  są prostokątne.

Dla trójkąta  $\Delta AOD$  mamy:

${\left|HO\right|}^2=\left|AH\right|\cdot \left|HD\right|$   

$r^2=\left|AH\right|\cdot \left|HD\right|$  

$3^2=4,5\left|HD\right|$  

$9=4,5\left|HD\right|\text{/}:4,5$  

$\left|HD\right|=2$  

Dla trójkąta  $\Delta BOC$  mamy:

${\left|FO\right|}^2=\left|BF\right|\cdot \left|FC\right|$   

$r^2=\left|BF\right|\cdot \left|FC\right|$  

$3^2=9\left|FC\right|$  

$9=9\left|FC\right|\text{/}:9$  

$\left|FC\right|=1$  

 

Obliczamy długość  $b.$  

$b=\left|DC\right|=\left|DG\right|+\left|GC\right|=\left|HD\right|+\left|FC\right|$   

$b=2+1=3$  

 

Obliczamy pole trapezu:

$P_T=\frac{a+b}{2}\cdot h$  

$P_T=\frac{13,5+3}{2}\cdot 6=16,5\cdot 3=49,5$   

Obliczamy pole koła:

$P_K=\pi r^2$  

$P_K=\pi \cdot 3^2=9\pi$  

Obliczamy pole zamalowanej figury:

$P_F=P_T-P_K$  

$P_F=49,5-9\pi$  

Odp. Pole zamalowanej figury jest równe  $49,5-9\pi .$