$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Chcemy obliczyć pole zamalowanego pierścienia.

Zrobimy to, odejmując od pola koła opisanego na trójkącie pole koła wpisanego w trójkąt.

Wiemy, że w trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego (który jest jednocześnie środkiem

okręgu wpisanego) na trójkącie dzieli wysokość trójkąta w stosunku  $2:1.$   

Stąd mamy:

$r=\frac{1}{3}h$  

$R=\frac{2}{3}h$  

gdzie  $h$  jest wysokością trójkąta równobocznego, czyli  $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$  

Po podstawieniu do wzorów, otrzymujemy:

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$