$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$\left|AB\right|=8\Rightarrow a=4$  

Zauważmy, że trójkąty  $\Delta BCD$  oraz  $\Delta OCE$  są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt.

Z podobieństwa trójkątów wynika równość:  

$\frac{\left|OE\right|}{\left|CO\right|}=\frac{\left|DB\right|}{\left|BC\right|}$   

$\frac{2x}{3x}=\frac{a}{b}$  

$\frac{2}{3}=\frac{4}{b}$  

$2b=12\text{/}:2$  

$b=6$  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta BCD$  i wyznaczamy  $x.$  

${\left(5x\right)}^2+a^2=b^2$  

$25x^2+4^2=6^2$  

$25x^2=36-16$  

$25x^2=20\text{/}:25$  

$x^2=\frac{20}{25}$  

$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

Zauważmy, że promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $2x.$  Czyli:   

$r=2x=2\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$  

Odp. Promień okręgu ma długość  $\frac{4\sqrt{5}}{5}.$  

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$\left|AB\right|=8\Rightarrow a=4$  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta DBS$  i wyznaczamy  $x.$  

${\left(3x\right)}^2+a^2={\left(5x\right)}^2$  

$9x^2+4^2=25x^2$  

$16=16x^2\text{/}:16$  

$x^2=1$  

$x=1$  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta BCD$  i wyznaczamy  $b.$  

$a^2+{\left(8x\right)}^2=b^2$  

$4^2+8^2=b^2$  

$16+64=b^2$  

$80=b^2$  

$b=4\sqrt{5}$  

Zauważmy, że trójkąty  $\Delta BCD$  oraz  $\Delta OCE$  są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt.

Z podobieństwa trójkątów wynika równość:  

$\frac{\left|OE\right|}{\left|OC\right|}=\frac{\left|DB\right|}{\left|BC\right|}$            

Zauważmy, że  $\left|OC\right|=8x-r.$   

Po podstawieniu danych mamy:

$\frac{r}{8x-r}=\frac{a}{b}$  

$\frac{r}{8-r}=\frac{4}{4\sqrt{5}}$  

$4\sqrt{5}r=32-4r$  

$4\left(\sqrt{5}+1\right)r=32\text{/}:4\left(\sqrt{5}+1\right)$  

$r=\frac{8}{\sqrt{5}+1}\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{8\left(\sqrt{5}-1\right)}{5-1}=\frac{8\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=2\left(\sqrt{5}-1\right)$  

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $2\left(\sqrt{5}-1\right).$