$\text{a)}$  Zauważmy, że powstałe trójkąty są równoramienne, więc:

$\alpha =\gamma ={20}^{\circ }$  

Obliczamy miarę trzeciego kąta trójkąta, przy wierzchołku  $O:$  

$\angle O={180}^{\circ }-2\cdot {20}^{\circ }={180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$  

Kąt  $\beta$  jest przyległy do tego kąta więc ma miarę:

$\beta ={180}^{\circ }-{140}^{\circ }={40}^{\circ }$  

Odp.  $\alpha ={20}^{\circ },\beta ={40}^{\circ },\gamma ={20}^{\circ }.$  

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że kąty  $ADB$  oraz  $ACB$  to katy wpisane oparte na tym samym łuku. Stąd:

$\alpha ={30}^{\circ }$  

Trójkąt  $\Delta DCB$  jest oparty na średnicy okręgu, więc jest prostokątny. Stąd  $\angle DCB={90}^{\circ }$  i:

$\beta +{30}^{\circ }={90}^{\circ }$  

$\beta ={60}^{\circ }$  

Z sumy kątów trójkąta  $ADE$  obliczamy miarę kąta  $\delta :$  

${50}^{\circ }+\alpha +\delta ={180}^{\circ }$  

${50}^{\circ }+{30}^{\circ }+\delta ={180}^{\circ }$  

${80}^{\circ }+\delta ={180}^{\circ }$  

$\delta ={100}^{\circ }$  

Kąty  $\delta$  i  $\gamma$  to kąty przyległe, więc:

$\delta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${100}^{\circ }+\gamma ={180}^{\circ }$  

$\gamma ={80}^{\circ }$  

Odp.  $\alpha ={30}^{\circ },\beta ={60}^{\circ },\gamma ={80}^{\circ }.$  

 

$\text{c)}$  Rysunek pomocniczy:

          

Trójkąt  $\Delta ABC$  jest oparty na średnicy okręgu, więc jest prostokątny i:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

Kąty  $BDA$  i  $BCA$  są oparte na tym samym łuku, więc:

$\xi ={60}^{\circ }$  

Z sumy kątów trójkąta obliczamy miarę kąta  $\gamma :$  

$\gamma +\xi +\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

$\gamma +{60}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma +{150}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma ={30}^{\circ }$  

Kąt  $\delta$  jest przyległy do kąta o mierze  ${110}^{\circ },$  zatem:

$\delta +{110}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\delta ={70}^{\circ }$  

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta EBC$  obliczamy miarę kąta  $\alpha :$                  

$\alpha +\delta =\xi ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{70}^{\circ }+{60}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +{130}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha ={50}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta  $\beta :$  

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

${50}^{\circ }+\beta ={90}^{\circ }$  

$\beta ={40}^{\circ }$  

Odp.  $\alpha ={50}^{\circ },\beta ={40}^{\circ },\gamma ={30}^{\circ }.$