$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy najpierw, że jeżeli  $\angle ACB={30}^{\circ },$  to trójkąt  $\Delta BOC$  jest równoramienny. Wtedy:

$\alpha ={180}^{\circ }-2\cdot {30}^{\circ }={120}^{\circ }$     

$\beta ={180}^{\circ }-\alpha ={60}^{\circ }$  

Pole zacieniowanej figury obliczymy jako sumę pola trójkąta  $\Delta BOC$  i pola wycinka  $AOB.$     

Obliczamy pole trójkąta:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}{R}^2\sin \alpha$  

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)=8\cdot \sin {60}^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$  

Obliczamy pole wycinka:

$P_w=\frac{\beta }{{360}^{\circ }}\cdot \pi R^2$  

$P_w=\frac{{\beta }^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 4^2=\frac{1}{6}\pi \cdot 16=\frac{8}{3}\pi$  

Obliczamy pole zamalowanej figury:

$P_F=4\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi$  

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

       

Zauważmy najpierw, że  $\left|CD\right|=4.$