$f\left(x\right)=x^3+3x^2+kx+k$  

$x^3+3x^2+kx+k=0$  

$x^3+3x^2=-kx-k$  

$x^3+3x^2=-k\left(x+1\right)\text{/}:\left(-\left(x+1\right)\right)\ne 0\to$ później sprawdzimy, co dzieje się dla  $x=-1$   

$k=-\frac{x^3+3x^2}{x+1}$  

Zauważmy, że chcąc znaleźć miejsca zerowe funkcji  $f$  udało nam się uzyskać zależność  $k=-\frac{x^3+3x^2}{x+1}.$  

W takim razie wystarczy narysować wykres funkcji  $g\left(x\right)=-\frac{x^3+3x^2}{x+1},$  a następnie, na podstawie wykresu,     

ustalić liczbę rozwiązań równania  $g\left(x\right)=k$  w zależności od parametru  $k.$  

 

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji $g:$

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-1\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Punkty przecięcia z osią $OX:$   

$g\left(x\right)=0$  

$-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=0\text{/}\cdot \left(x+1\right)\ne 0$  

$-\left(x^3+3x^2\right)=0$  

$-x^2\left(x+3\right)=0$  

$x=0\vee x=-3$  

Wykres przecina oś  $OX$  w punktach  $\left(0,0\right)$  oraz  $\left(-3,0\right).$    

 

Punkt przecięcia z osią  $OY:$   

$g\left(0\right)=0$  

Wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,0\right).$  

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $g$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }-\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\stackrel{\left[-\frac{1}{0}\right]}{=}-\infty$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }-\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\stackrel{\left[-\frac{1}{0}\right]}{=}-\infty$   

Nie istnieje asymptota pozioma wykresu funkcji.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}\stackrel{\left[-\frac{2}{0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}\stackrel{\left[-\frac{2}{0^{+}}\right]}{=}-\infty$

Prosta  $x=-1$  asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji  $g.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $g:$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{-\left(x^3+3x^2\right)}{x+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(-3x^2-6x\right)\left(x+1\right)+x^3+3x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=$   

$=\frac{-3x^3-3x^2-6x^2-6x+x^3+3x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{-2x^3-6x^2-6x}{{\left(x+1\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:  $D_{g{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-1\right\}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{-2x^3-6x^2-6x}{{\left(x+1\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x+1\right)}^2\ne 0$  

$-2x^3-6x^2-6x=0\text{/}:2$  

$-x^3-3x^2-3x=0$  

$-x\left(\underset{\Delta <0}{\underbrace{x^2+3x+3}}\right)=0$  

$x=0$   

Zatem:

$g{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(0,\infty \right)$  

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-1\right),$  oraz  $(-1,0⟩,$  

a malejąca w przedziale   $⟨0,+\infty ).$  

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla  $x=0.$

 

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$g{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$
$g\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \searrow$	$0$	$\searrow +\infty$

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Na postawie wykresu ustalamy liczbę rozwiązań równania  $g\left(x\right)=k$  w zależności od parametru  $k:$  

dla  $k\in \left(-\infty ,0\right)$  równanie ma  $3$  pierwiastki,

dla  $k=0$  równanie ma dwa pierwiastki,

dla  $k\in \left(0,+\infty \right)$  równanie ma jeden pierwiastek.

 

Mieliśmy "później" sprawdzić, co dla  $x=-1.$ Nadszedł ten moment.

Obliczamy  $f\left(-1\right).$  

$f\left(-1\right)=-1+3-k+k$  

$f\left(-1\right)=2$  

Zauważmy, że chcąc rozwiązać równanie  $f\left(-1\right)=0$  otrzymamy sprzeczność,

więc liczba miejsc zerowych funkcji jest zdefiniowana przez rozwiązania równania  $g\left(x\right)=k.$       

Dla  $k\in \left(-\infty ,0\right)$  funkcja ma  $3$  pierwiastki,

dla  $k=0$  funkcja ma dwa pierwiastki,

dla  $k\in \left(0,+\infty \right)$  funkcja ma jeden pierwiastek.