$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$  

Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-9\ne 0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ne 0$  

$x\ne 3\wedge x\ne -3$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-3,3\right\}$  

 

Obliczamy pochodną funkcji:

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{x^2-9}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{-2x}{{\left(x^2-9\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-3,3\right\}.$  

 

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-2x}{{\left(x^2-9\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-9\right)}^2\ne 0$  

$-2x=0$  

$x=0$  

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(0,+\infty \right)$  

W takim razie funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-3\right)$  oraz  $(-3,0⟩,$  

a malejąca w przedziałach  $⟨0,3)$  oraz  $\left(3,+\infty \right).$  

        

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{1}{\left|x^2-4\right|}$      

Rozważmy funkcję  $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2-4}$  i zauważmy, że  $f\left(x\right)=\left|g\left(x\right)\right|.$  

Wynika stąd, że aby otrzymać wykres funkcji  $f,$  wystarczy odbić wykres

funkcji  $g$  symetrycznie względem osi  $OX.$        

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji  $g,$  a następnie,

na podstawie odbicia wykresu, ustalimy, jakie są przedziały monotoniczności funkcji  $f.$   

Określamy dziedzinę funkcji $g:$  

$x^2-4\ne 0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ne 0$  

$x\ne -2\wedge x\ne 2$  

$D_g=\mathbf{R}-\left\{-2,2\right\}$       

 

Wyznaczamy punkt przecięcia z osią  $OY:$  

$g\left(0\right)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$  

Funkcja  $g$  przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,-\frac{1}{4}\right).$      

 

Wyznaczamy asymptoty poziome wykresu funkcji:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^2-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=0$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=0$

Prosta  $y=0$  jest asymptota poziomą wykresu funkcji  $g.$    

Wyznaczamy asymptoty pionowe wykresu funkcji:

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{-4\cdot 0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{-4\cdot 0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{4\cdot 0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{4\cdot 0^{+}}\right]}{=}+\infty$

Proste  $x=-2$  oraz  $x=2$  są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji  $g.$     

 

Obliczamy pochodną funkcji  $g:$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{x^2-4}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{-2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:  $D_{g{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-2,2\right\}.$  

 

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$g{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-4\right)}^2\ne 0$  

$-2x=0$  

$x=0$  

Zatem:

$g{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(0,+\infty \right)$  

W takim razie funkcja  $g$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-2\right)$  oraz  $(-2,0⟩,$  

a malejąca w przedziałach  $⟨0,2)$  oraz  $\left(2,+\infty \right).$  

W punkcie  $x=0$  funkcja  $g$  osiąga maksimum lokalne,  $g\left(0\right)=-\frac{1}{4}.$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,2\right)$	$2$	$\left(2,+\infty \right)$
$g{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$g\left(x\right)$	$-\infty \nearrow 0$	$\times$	$+\infty \nearrow$	$-\frac{1}{4}$	$-\infty \searrow$	$\times$	$0\searrow +\infty$