$f\left(x\right)=-x^2+ax$  

 

Wyznaczamy punkty przecięcia z osią  $OX.$  

$f\left(x\right)=0$  

$-x^2+ax=0$  

$x\left(a-x\right)=0$  

$x=0\vee x=a$  

W takim razie funkcja może mieć styczną w punkcie  $\left(a,0\right)$  lub  $\left(0,0\right).$    

Wyznaczmy równanie stycznej do paraboli.

 

Wiemy, że jeżeli funkcja  $f$  ma pochodną w punkcie  $x_0,$  

to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$  jest prosta o równaniu:  

$y-f\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$   

Przypadek pierwszy - styczna w punkcie  $\left(a,0\right).$   

Funkcja  $f$  jest ciągła w całej dziedzinie, więc ma pochodną w punkcie  $x_0=a.$  

Obliczamy:  

$f\left(x_0\right)=0$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-2x+a$    

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(a\right)=-2a+a=-a$   

Zapisujemy równanie stycznej:

$y=-a\left(x-a\right)$  

$y=-ax+a^2$  

Wiemy, że styczna jest nachylona do osi  $OX$  pod kątem  ${30}^{\circ },$  stąd:

$-a=\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$      

 

Przypadek drugi - styczna w punkcie  $\left(0,0\right).$   

Funkcja  $f$  jest ciągła w całej dziedzinie, więc ma pochodną w punkcie  $x_0=0.$  

Obliczamy:  

$f\left(x_0\right)=0$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-2x+a$    

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(0\right)=a$    

Zapisujemy równanie stycznej:

$y=ax$  

Wiemy, że styczna jest nachylona do osi  $OX$  pod kątem  ${30}^{\circ },$  stąd:

$a=\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Odp.  $a\in \left\{-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}.$