$f\left(x\right)=\frac{x^2+2}{x^2+4x}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2+4x\ne 0$  

$x\left(x+4\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne -4$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-4,0\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Zauważmy, że funkcja nie przecina osi  $OY,$  bo  $0\notin D_f.$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{x^2+2}{x^2+4x}=0\text{/}\cdot \left(x^2+4x\right)\ne 0$  

$x^2+2=0$  

$x^2=-2\to$  sprzeczność, funkcja nie przecina osi  $OX$   

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $f$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+4x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}}=1$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+4x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}}=1$    

Prosta  $y=1$  jest asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f.$   

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{x\cdot \left(x+4\right)}\stackrel{\left[\frac{2}{4\cdot 0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{x\cdot \left(x+4\right)}\stackrel{\left[\frac{2}{4\cdot 0^{+}}\right]}{=}+\infty$

$\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{x\cdot \left(x+4\right)}\stackrel{\left[\frac{18}{-4\cdot 0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{x\cdot \left(x+4\right)}\stackrel{\left[\frac{18}{-4\cdot 0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

Proste  $x=-4$  oraz  $x=0$  są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji  $f.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2+2}{x^2+4x}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{2x\left(x^2+4x\right)-\left(2x+4\right)\left(x^2+2\right)}{{\left(x^2+4x\right)}^2}=\frac{2x^3+8x^2-2x^3-4x-4x^2-8}{{\left(x^2+4x\right)}^2}=\frac{4x^2-4x-8}{{\left(x^2+4x\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-4,0\right\}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{4x^2-4x-8}{{\left(x^2+4x\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2+4x\right)}^2\ne 0$  

$4x^2-4x-8=0\text{/}:4$  

$x^2-x-2=0$  

$x^2-2x+x-2=0$  

$x\left(x-2\right)+x-2=0$  

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$      

$x=-1\vee x=2$  

Szkicujemy wykres funkcji  $f{}^{\prime }:$  

i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-1,2\right)$  

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-4\right),(-4,-1⟩$  oraz  $⟨2,+\infty ),$  

a malejąca w przedziałach  $⟨-1,0)$  oraz  $(0,2⟩.$  

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla  $x=-1,$  a minimum lokalne dla  $x=2.$  

$f_{\max }=f\left(-1\right)=\frac{3}{-3}=-1$  

$f_{\min }=f\left(2\right)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-4\right)$	$-4$	$\left(-4,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,2\right)$	$2$	$\left(2,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow 1$	$\times$	$+\infty \nearrow$	$-1$	$-\infty \searrow$	$\times$	$+\infty \searrow$	$\frac{1}{2}$	$1\nearrow \infty$

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Na podstawie wykresu funkcji  $f$  oceniamy, dla jakich wartości parametru  $m$  równanie  $\frac{x^2+2}{x^2+4x}=m$   ma rozwiązanie.

Dla  $m\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  równanie ma dwa rozwiązania.

Dla  $m\in \left\{-1,\frac{1}{2},1\right\}$  równanie ma jedno rozwiązanie.   

W takim razie równanie ma (jakiekolwiek) rozwiązanie dla  $m\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨\frac{1}{2},+\infty ).$