Wprowadźmy oznaczenie:

$R$  -wysokość rocznej wypłaty pani Ani

 

Gdyby pani Ania chciała dokonywać wypłaty po roku to wysokość kwoty wynosiłaby:

$R=100000\cdot 1,05$  

 

Gdyby pani Ania chciała dokonywać wypłat przez dwa lata to wówczas wysokość jednej wypłaty moglibyśmy wyznaczyć w następujący sposób:

$\left(100000\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R=0$  

 

Gdyby pani Ania chciała dokonywać wypłat przez trzy lata to wówczas wysokość jednej wypłaty moglibyśmy wyznaczyć w następujący sposób:

$\left(\left(100000\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R=0$  

 

Gdyby pani Ania chciała dokonywać wypłat przez cztery lata to wówczas wysokość jednej wypłaty moglibyśmy wyznaczyć w następujący sposób:

$\left(\left(\left(100000\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R=0$  

Wysokość wypłaty w kolejnych latach moglibyśmy rozpisać w analogiczny sposób.

 

Po wypłaceniu 20 wypłat stan rachunku pani Ani będzie wynosił 0, zatem:

$(((((((((((((\left(\left(\left(\left(\left(\left(100000\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot 1,05-R\right)\cdot$  

$1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot$  

$1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R)\cdot 1,05-R=0$  

Z powyższego równania wyznaczmy wysokość raty R:

$100000\cdot {1,05}^{20}-R\cdot {1,05}^{19}-R\cdot {1,05}^{18}-R\cdot {1,05}^{17}-\dots -R\cdot {1,05}^2-R\cdot 1,05-R=0$  

$100000\cdot {1,05}^{20}=R\cdot \left({1,05}^{19}+{1,05}^{18}+{1,05}^{17}+\dots +{1,05}^2+1,05+1\right)$  

$100000\cdot {1,05}^{20}=R\cdot \left(1+1,05+{1,05}^2+\dots +{1,05}^{17}+{1,05}^{18}+{1,05}^{19}\right)$  

$100000\cdot {1,05}^{20}=R\cdot \frac{1-{1,05}^{20}}{1-1,05}$  

$R=\frac{100000\cdot {1,05}^{20}}{\frac{1-{1,05}^{20}}{1-1,05}}$  

$R=\frac{\left(100000\cdot {1,05}^{20}\right)\left(1-1,05\right)}{\left(1-{1,05}^{20}\right)}$  

$R\approx 8024,26$  

 

Odp.: Maksymalna wysokość wypłaty może wynosić 8024,26 zł.