I sposób:
W ostatnim roku musimy mieć minimum 10 000 zł do wypłaty, zatem:
1,0410 000=9615,38
Po drugim roku dopłacamy nasze 10 000 zł :
1,049615,38+10 000=18 860,9423
Po trzecim roku:
1,0418 860,9432+10 000=27 750,91
Po czwartym roku:
1,0427 750,91+10000=36 298,95
Po piątym roku:
1,0436 298,95+10000=44 518,223≈44 518,23 [zł]
Po szóstym roku:
1,0444 518,23+10 000=52 421,375
Po siódmym roku:
1,0452 421,375+10 000=60 020,553
Po ósmym roku:
1,0460 020,553+10 000=67 327,455
Po dziewiątym roku:
1,0467 327,455+10 000=74 353,322
Po dziesiątym roku:
1,0474 353,322+10 000=81 108,963≈81 108,96 [zł]
Odpowiedź: Żeby móc wypłacać co rok 10000 zł przez pięć lat, pan Jan musi mieć na koncie minimum 44 518,23 zł. Aby móc wypłacać co rok 10000 zł przez dziesięć lat, pan Jan musi mieć na koncie minimum 81 106,96 zł
II sposób:
Przez Kn oznaczmy minimalną kwotę, jaką pan Jan wpłacił na lokatę założoną na n lat.
Co miesiąc kwota zwiększała się o 4%, więc mnożona jest przez (1+1004) .
Gdyby pan Jan wpłacił kwotę K1 na lokatę roczną i po roku chciał wypłacić 10 000 zł, to należałoby zapisać równanie:
K1(1+1004)−10 000=0
Gdyby pan Jan wpłacił kwotę K2 na lokatę 2-letnią na koniec każdego roku wypłacał po 10 000 zł, to należałoby zapisać równanie:
(K2(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000=0
Pan Jan wpłacił kwotę K5 na lokatę 5-letnią i na koniec każdego roku zamierza wypłacać po 10 000 zł. Możemy więc zapisać równanie:
((((K5(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000=0
Przekształcamy lewą stronę powyższego równania.
((((K5(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000)(1+1004)−10 000=
=((((K5⋅100104−10 000)⋅100104−10 000)⋅100104−10 000)⋅100104−10 000)⋅100104−10 000=
=((((K5⋅2526−10 000)⋅2526−10 000)⋅2526−10 000)⋅2526−10 000)⋅2526−10 000=
=2526(2526(2526(2526(2526⋅K5−10 000)−10 000)−10 000)−10 000)−10 000=
=2526⋅2526(2526(2526(2526⋅K5−10 000)−10 000)−10 000)−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)2⋅(2526(2526(2526⋅K5−10 000)−10 000)−10 000)−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)2⋅2526(2526(2526⋅K5−10 000)−10 000)−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)3⋅(2526(2526⋅K5−10 000)−10 000)−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)3⋅2526(2526⋅K5−10 000)−(2526)3⋅10 000−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)4(2526⋅K5−10 000)−(2526)3⋅10 000−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)4⋅2526⋅K5−(2526)4⋅10 000−(2526)3⋅10 000−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=
=(2526)5⋅K5−(2526)4⋅10 000−(2526)3⋅10 000−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000
Mamy więc:
(2526)5⋅K5−(2526)4⋅10 000−(2526)3⋅10 000−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=0
Zatem:
(2526)5⋅K5=(2526)4⋅10 000+(2526)3⋅10 000+(2526)2⋅10 000+2526⋅10 000+10 000
(2526)5⋅K5=10 000⋅[(2526)4+(2526)3+(2526)2+2526+1]
(2526)5⋅K5=10 000⋅[1+2526+(2526)2+(2526)3+(2526)4]
Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym: a1=1, q=2526 .
S5=1⋅1−25261−(2526)5=−2511−1,2166529024=(−0,2166529024)⋅(−25)=5,41632256
Stąd:
(2526)5⋅K5=10 000⋅S5
(2526)5⋅K5=10 000⋅5,41632256
(2526)5⋅K5=54 163,2256
K5=54 163,2256⋅(2625)5
K5=54 163,2256⋅118813769765625
K5≈44 518,2233≈44 518,22 [zł]
Pan Jan wpłacił kwotę K10 na lokatę 10-letnią i na koniec każdego roku zamierza wypłacać po 10 000 zł. Możemy więc zapisać równanie:
(2526)10⋅K10−(2526)9⋅10 000−(2526)8⋅10 000−…−(2526)2⋅10 000−2526⋅10 000−10 000=0
(2526)10⋅K10=(2526)9⋅10 000+(2526)8⋅10 000+…+(2526)2⋅10 000+2526⋅10 000+10 000
(2526)10⋅K10=10 000[(2526)9+(2526)8+…+(2526)2+2526⋅+1]
(2526)10⋅K10=10 000[1+(2526+(2526)2+…+(2526)8+(2526)9]
Obliczamy sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym: a1=1, q=2526 .
S10=1⋅1−25261−(2526)10≈−2511−1,4802442849=(−0,4802442849)⋅(−25)=12,0061071225
Stąd:
(2526)10⋅K10=10 000⋅S10
(2526)10⋅K10=10 000⋅12,0061071225
(2526)10⋅K10=120 061,071225
K10=120 061,071225⋅(2625)10
K10=120 061,071225⋅14116709565337695367431640625
K10≈81 108,9578≈81 108,96 [zł]
