Dany jest ciąg geometryczny...- Zadanie 18: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} - b_{1} = 1 a_{2} - b_{2} = 1 a_{3} - b_{3} = 5 a_{4} - b_{4} = 17$

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = b_{1} + 1 a_{2} = b_{2} + 1 a_{3} = b_{3} + 5 a_{4} = b_{4} + 17$

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = b_{1} + 1 a_{2} = b_{1} + r + 1 a_{3} = b_{1} + 2 r + 5 a_{4} = b_{1} + 3 r + 17$

Skorzystajmy dwukrotnie z własności ciągu geometrycznego:

$a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$

$(b_{1} + (r + 1))^{2} = (b_{1} + 1) (b_{1} + 2 r + 5)$ $(b_{1} + (r + 1))^{2} = (b_{1} + 1) (b_{1} + 2 r + 5)$

$b_{1}^{2} + 2 b_{1} (r + 1) + r^{2} + 2 r + 1 = b_{1}^{2} + 2 b_{1} r + 5 b_{1} + b_{1} + 2 r + 5 ∣ - b_{1}^{2}$

$2 b_{1} r + 2 b_{1} + r^{2} + 2 r + 1 = 2 b_{1} r + 6 b_{1} + 2 r + 5 ∣ - 2 b_{1} r, - 2 r$

$2 b_{1} + r^{2} + 1 = 6 b_{1} + 5$

$r^{2} = 4 b_{1} + 4$

$a_{3}^{2} = a_{2} \cdot a_{4}$

$(b_{1} + (2 r + 5))^{2} = (b_{1} + r + 1) (b_{1} + 3 r + 17)$

$b_{1}^{2} + 2 b_{1} (2 r + 5) + 4 r^{2} + 20 r + 25 = b_{1}^{2} + 3 b_{1} r + 17 b_{1} + b_{1} r + 3 r^{2} + 17 r + b_{1} + 3 r + 17$

$b_{1}^{2} + 4 b_{1} r + 10 b_{1} + 4 r^{2} + 20 r + 25 = b_{1}^{2} + 4 b_{1} r + 18 b_{1} + 3 r^{2} + 20 r + 17 ∣ - b_{1}^{2}, - 4 b_{1} r$

$10 b_{1} + 4 r^{2} + 20 r + 25 = 18 b_{1} + 3 r^{2} + 20 r + 17 ∣ - 20 r$

$10 b_{1} + 4 r^{2} + 25 = 18 b_{1} + 3 r^{2} + 17$

$r^{2} = 8 b_{1} - 8$

A więc:

$4 b_{1} + 4 = 8 b_{1} - 8$

$- 4 b_{1} = - 12$

$b_{1} = 3$

czyli:

$r^{2} = 24 - 8$

$r^{2} = 16$

$r = 4$

A więc ciąg arytmetyczny to:

$b_{n} = 3 + 4 (n - 1) = 3 + 4 n - 4 = 4 n - 1$

Pierwsze cztery wyrazy ciągu geometrycznego:

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} - 3 = 1 a_{2} - 7 = 1 a_{3} - 11 = 5 a_{4} - 15 = 17$

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 4 a_{2} = 8 a_{3} = 16 a_{4} = 32$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.