Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Punkty... 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Odcięte punktów tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2.

`f(-1) = 2^(-1) = 1/2` 

`f(1) = 2^1 = 2` 

`f(3) = 2^3=8` 

`f(5)= 2^5 = 32`  

`f(7) = 2^7 = 128` 

Rzędne tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4.

 

`a) \ A_5= (7, 128)` 

 

`b) \ |A_3 A_4| = sqrt((x_4-x_3)^2 +(y_4 -y_3)^2) = sqrt((5-3)^2 +(32-8)^2) = sqrt(2^2+24^2) = sqrt(4+576)=sqrt580=sqrt(4*145) = 2sqrt145` 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom