Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Iloczyn czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego... 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Iloczyn czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego...

14
 Zadanie
15
 Zadanie
16
 Zadanie
17
 Zadanie

18
 Zadanie

19
 Zadanie
1
 Zadanie

`{(a_1*a_2*a_3*a_4=324),(a_1-a_2=6):}` 

`{(a_1*a_2*a_3*a_4=324),(a_1-a_1q=6):}` 

`{(a_1*a_2*a_3*a_4=324),(a_1(1-q)=6):}` 

`{(a_1*a_2*a_3*a_4=324),(1-q=6/a_1):}` 

`{(a_1*a_2*a_3*a_4=324),(-q=6/a_1-1):}` 

`{(a_1*a_1q*a_1q^2*a_1q^3=324),(-q=(6-a_1)/(a_1)):}` 

`{(a_1^4 q^6=324),(q = (a_1-6)/a_1):}`  

`{((a_1^2q^3)^2=324),(q=(a_1-6)/a_1):}` 

`{(a_1^2q^3=18),(q=(a_1-6)/a_1):}` 

`{((a_1q)^2*q=18),(q=(a_1-6)/a_1):}` 

A więc:

`(a_1-6)^2*(a_1-6)/(a_1)=18` 

`(a_1-6)^3=18a_1` 

`a_1^3 -3*a_1^2*6 +3*a_1*6^2 -6^3 = 18a_1` 

`a_1^3 -18a_1^2 +108a_1 -216=18a_1` 

`a_1^3-18a_1^2 +90a_1-216=0` 

Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych:

`f(x)=x^3-18x^2+90x-216`  

`f(9) = 729 - 1458+810-216 =-135` 

`f(12) = 1728 -2592+1080-216=0` 

A więc liczba 12 jest pierwiastkiem równania, czyli dwumian x-12 wystąpi w rozkładzie wielomianu na czynniki.

 

`a_1^3 - 12a_1^2 -6a_1^2 +72a_1 +18a_1-216=0` 

`a_1^2(a_1-12) -6a_1(a_1 -12) +18(a_1-12)=0` 

`(a_1-12)(a_1^2-6a_1+18)=0` 

`a_1-12=0` 

`a_1=12` 

 

A więc:

`{(a_1=12),(q=(a_1-6)/a_1):}` 

`{(a_12),(q=1/2):}` 

Suma sześciu początkowych wyrazów:

`S_6 = a_1 (1-q^6)/(1-q) = 12*(1-1/64)/(1-1/2) = 12*(63/64)/(1/2) = 24*63/64 = 6*63/16 = 3*63/8 = 189/8 = 23 5/8 = 23,625` 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Ciąg geometryczny i jego suma
Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$$a_n=2,4,8,16,32,x$$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $$32*2=64$$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$

Przykład:

Znajdź $$x$$ w ciągu $$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $$n=2$$

$$a_2=a_1×q^(2-1)$$

Nasze wyrazy to:

$$a_1=1/3$$

$$a_2=-1/5$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_2=a_1×q^1$$

W celu usunięcia ułamków

$$-1/5=1/3×q$$ $$|×15$$

$$-3=5×q$$ $$|:(-3)$$

$$q=-5/3$$


Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$$a_5=a_1×q^(5-1)$$

$$a_5=a_1×q^4$$

$$a_5=1/3×(-5/3)^4$$

$$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$$


Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$$a_{n-1}$$, $$a_n$$, $$a_{n+1}$$ -> trzy kolejne wyrazy

$$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$$

 

Suma ciągu geometrycznego


W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $$N$$
  • Iloraz: $$q$$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $$a_7=81$$, a iloraz to $$q=3$$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_N=a_1×q^{N-1}$$

$$a_7=a_1×q^6$$

Podstawmy: $$81=a_1×3^6$$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$$3^4=a_1×3^6$$ $$|:3^6$$

Z własności dzielenia potęg:

$$3^{-2}=a_1$$

$$1/9=a_1$$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$$

$$S_7={-{2186}/9}/{-2}$$

$$S_7={2186}/{18}$$
 

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.
 
Udostępnij zadanie