$a)S_n=4n-5n^2$  

Zauważmy, że:

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

$a_n=4n-5n^2-\left(4\left(n-1\right)-5{\left(n-1\right)}^2\right)$  

$a_n=4n-5n^2-4\left(n-1\right)+5{\left(n-1\right)}^2$  

$a_n=4n-5n^2-4n+4+5\left(n^2-2n+1\right)$  

$a_n=4n-5n^2-4n+4+5n^2-10n+5$  

$a_n=-10n+9$  

 

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-1-10n+9}{2}\cdot n=\frac{8-10n}{2}\cdot n=\left(4-5n\right)\cdot n=-5n^2+4n$  

Zatem jest to ciąg arytmetyczny.

---

$b)S_n=3n+1$  

Zauważmy, że:

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

$a_n=3n+1-\left(3\left(n-1\right)+1\right)$  

$a_n=3n+1-3n+3-1$  

$a_n=3$  

Zauważmy, że suma n początkowych wyrazów ciągu powinna być równa 3n, zatem otrzymujemy sprzeczność.

Zatem nie jest to ciąg arytmetyczny.

---

$c)S_n=2n^2-1$  

Zauważmy, że:

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

$a_n=2n^2-1-\left(2{\left(n-1\right)}^2-1\right)$  

$a_n=2n^2-1-2{\left(n-1\right)}^2+1$  

$a_n=2n^2-1-2\left(n^2-2n+1\right)+1$  

$a_n=2n^2-1-2n^2+4n-2+1$  

$a_n=4n-2$  

 

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2+4n-2}{2}\cdot n=\frac{4n}{2}\cdot n=2n^2$

Otrzymujemy sprzeczność, zatem nie jest to ciąg arytmetyczny.

---

$\text{d)}{S}_n=6n$  

Zauważmy, że:

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

$a_n=6n-6\left(n-1\right)$  

$a_n=6n-6n+6$  

$a_n=6$  

 

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{6+6}{2}\cdot n=\frac{12}{2}\cdot n=6n$  

Zatem jest to ciąg arytmetyczny.