$\text{a)}$  

$f\left(x\right)=2{\sin }^{2}x$  

Korzystając ze wzoru

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha \mid -1$  

$\cos 2\alpha -1=-2{\sin }^2\alpha \mid :\left(-1\right)$  

$-\cos 2\alpha +1=2{\sin }^2\alpha$  

otrzymujemy:

$f\left(x\right)=-\cos 2\alpha +1$  

Zatem:

$a=1,b=-1,c=0$  

 

Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, zatem  $D=\mathbb{R}.$  

 

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_1=\cos \alpha$  

$y_2=\cos 2\alpha$  

 

$y_3=-\cos 2\alpha$  

$y_4=-\cos 2\alpha +1$  

 

Wyznaczmy rozwiązania nierówności na podstawie wykresu.

$f\left(x\right)\le \cos 2x$  

Zatem rozwiązanie nierówności w przedziale  $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩:$  

$x\in ⟨-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}⟩$  

 

Możemy zauważyć, że dla  $\frac{\pi }{6}$   otrzymujemy:

$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2{\sin }^2\frac{\pi }{6}=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$  

$\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\cos 2x\text{dla}x=\frac{\pi }{6}$  

---

$\text{b)}$  

$f\left(x\right)={\cos }^{2}x$  

Korzystając ze wzoru:

$\cos 2\alpha =2{\cos }^{2}x-1\mid +1$  

$\cos 2\alpha +1=2{\cos }^{2}x\mid :2$  

$\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +1\right)={\cos }^{2}x$  

$\frac{1}{2}\cos 2\alpha +\frac{1}{2}={\cos }^{2}x$  

otrzymujemy:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2\alpha +\frac{1}{2}$

Zatem: 

$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=0$  

 

Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste, zatem  $D=\mathbb{R}.$  

 

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y=\cos 2x$  

$y=\frac{1}{2}\cos 2x$  

$y=\frac{1}{2}\cos 2x+1$  

Wyznaczmy rozwiązania nierówności na podstawie wykresu.

$f\left(x\right)\le \cos 2x$  

Zatem rozwiązanie nierówności w przedziale  $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩:$  

$x=0$  

---

$\text{c)}$  

$f\left(x\right)=\frac{2}{\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x}$  

$f\left(x\right)=\frac{2}{\mathrm{tg}x+\frac{1}{\mathrm{tg}x}}$  

$f\left(x\right)=\frac{2}{\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{\mathrm{tg}x}+\frac{1}{\mathrm{tg}x}}$  

$f\left(x\right)=\frac{2}{\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x+1}{\mathrm{tg}x}}$  

$f\left(x\right)=2\cdot \frac{\mathrm{tg}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x+1}$  

$f\left(x\right)=\frac{2\mathrm{tg}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x+1}$  

$f\left(x\right)=\frac{2\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+1}$  

$f\left(x\right)=\frac{\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$  

$f\left(x\right)=\frac{\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$  

$f\left(x\right)=\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{1}$  

$f\left(x\right)=2\sin \alpha \cos \alpha$  

$f\left(x\right)=\sin 2\alpha$  

$f\left(x\right)=\sin 2\alpha \cdot 1+\cos 2\alpha \cdot 0$  

$f\left(x\right)=\sin 2\alpha \cdot \sin \frac{\pi }{2}+\cos 2\alpha \cdot \cos \pi 2$  

$f\left(x\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$  

 

Aby narysować wykres funkcji f należy narysować:

$y_1=\cos 2x$  

$y_2=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$  

Wyznaczmy rozwiązania nierówności algebraicznie (ponieważ ciężko odczytać szukane argumenty z wykresu).

$f\left(x\right)\le \cos 2x$  

Zauważmy, że:

$\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x\cdot \frac{\cos \pi }{2}+\sin 2x\cdot \frac{\sin \pi }{2}=\cos 2x\cdot 0+\sin 2x\cdot 1=\sin 2x$  

$\sin 2x\le \cos 2x$  

Podstawiając  $t=2x$  

$\sin t\le \cos t$  

$t\in ⟨-\frac{3}{4}\pi +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi ⟩$  

$2x\in ⟨-\frac{3}{4}\pi +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi ⟩$  

$x\in ⟨-\frac{3}{8}\pi +k\pi ,\frac{\pi }{8}+k\pi ⟩$  

Zatem rozwiązanie nierówności w przedziale  $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩:$  

$⟨-\frac{3}{8},\frac{\pi }{8}⟩$